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《数学课程与教学论新编》复习资料 数学教育学的课程性质与特点 数学教育学是一门研究数学教育现象、揭示数学教育规律的课程。它是建立在数学和教育学的基础上，综合运用哲学、逻辑学、心理学、认知科学和行为科学等成果于数学教育实践而形成的一门多学科交叉性的综合学科，是作为中小学数学教师必修的专业课程。 第一章 数学的特点、方法与意义 （一）课程内容 数学的对象和特点，数学的思想方法及作用。 （二）学习与考核要求 了解数学语言、数学方法、数学模型等概念的内涵，理解数学抽象性、严谨性等特点，明确公理化方法、随机思想方法的特点。 1、数学是什么？从数学的研究对象的角度,将数学概括为：研究现实世界的数和形之间各种量、量变及其关系的一门科学。 2、数学具有抽象性、严谨性，广泛应用性的特点（作为科学学科的数学特征） （1）抽象性：①数学抽象的彻底性，比其它科学的抽象性更彻底。数学的抽象撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系（例如矩形面积，没有说是足球场，铁板，纸张，布匹。以需求价格弹性到一般弹性、从速度到导数、从面积到定积分为例）。②数学抽象的层次性（以数的绝对值到向量的模为例）；数学抽象发展过程可划分为三大阶段，即从对象的具体性质进行抽象、从具体的数量进行抽象、从数学对象之间的相互关系的意义进行抽象；③数学方法的抽象性。 （2）严谨性，数学的严谨性是指逻辑上要无懈可击（比如则有就不严谨，数学里没有这样的结论），结论要十分确定，一般又称为逻辑严密性或严格性（比如商的极限等于极限的商就不严谨，数学里没有这样的结论，应加条件分母极限不为零时），结论确定性或可靠性。 （3）广泛的应用性。首先我们经常地几乎每时每刻地在生产中、日常生活中以及社会生活中运用着最普遍的数学概念、方法和 结论，其次对于力学、物理学、天文学、化学等自然学科，数学已成为无可争辩的有效工具；在科技高度发达的今天，数学的运应用呈现出了更为广阔的前景。 3、作为教育学科的数学特征：（1）数学是一门渐进性的科学（2）数学具有独特的语言、符号系统。 4、数学语言：如同数学的对象来源于人类实践，数学语言源于人类的语言，随着数学抽象性和严谨性发展，逐步演变成独特的语言符号系统，数学语言主要有文字语言（术语）、符号语言（记号）和图像语言组成。 数学语言具有简洁性，精确性，抽象化性（形式化和符号化）的特点 （1）简洁性：如“甲的钱跟已的钱一样多，已的钱跟丙的钱一样多，则甲的钱跟跟丙的钱一样多”在数学上表达为“若”，又如性质， （2）精确性 数学语言的概念、术语、结论的表述不能含糊不清或让人理解时产生歧义。 （3）抽象性 （形式化、符号化）数学语言的抽象性来源于数学的抽象性。矩形面积的计算用数学语言表达，加法交换律用数学语言表达，一个数是实数用数学语言。 二、数学的思想方法 在数学思想方法中，影响和作用最大的就是：公理化思想方法；数学模型方法；随机思想方法。（也说宏观的数学方法有公理化方法，数学模型方法，随机思想方法） 5、数学思想：是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中并经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则、方法等）的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观念，他在认识中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。 6数学方法：是以数学为工具进行科学研究和解决问题的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推理、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。数学方法的表现方式主要有：提供简洁精确的形式化语言，提供数量分析和计算方法，提供推理工具，建立数学模型。数学方法同样具有数学科学的三个基本特点：一是高度的抽象性和概括性，二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。 7、数学思想、数学方法、数学观念的关系 （1）数学思想来源于数学知识与方法，又高于知识与方法，居于更高层次的地位，他指导知识与方法的运用。（2）对于数学方法来说，思想是相应方法的精神实质和理论基础，数学方法则是处理、探索、解决问题、实施有关数学思想的技术手段和工具。（3）数学教育中出现的数学观念（方程观念、函数观念、统计观念等）和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。 8、公理化方法： 含义：公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。公理化方法始于古希腊欧几里得的《原本》。它从五个公设和五条公理（比如过两点只能作一条直线，两条平行线的同位角相等出发），运用演绎方法将当时所知道的几何学知全部推导出来，并使之条理化、系统化，形成了一个合乎逻辑的体系。