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《2.14定积分与微积分基本定理》 学案
定积分与微积分基本定理 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长(分钟) 60 知 识 点 定积分的概念与几何意义 微积分基本定理 求定积分 定积分的简单应用 学习目标 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 学习重点 微积分基本定理 求定积分 学习难点 微积分基本定理 学习过程 一、复习预习 导数的概念 导数与函数单调性、极值、最值的关系 二、知识讲解 考点1 定积分的概念 在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式. 考点2 定积分的几何意义 当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). 一般情况下,定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. 考点3 定积分的基本性质 kf(x)dx=kf(x)dx. [f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx. f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx. 考点4 微积分基本定理 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式. 为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x),即 f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a). 三、例题精析 【例题1】 【题干】求下列定积分: (1)|x-1|dx; (2) dx. 【解析】(1)|x-1|= 故|x-1|dx=(1-x)dx+(x-1)dx =+ =+=1. (2) dx =|sin x-cos x|dx= (cos x-sin x)dx+ (sin x-cos x)dx =(sin x+cos x)+(-cos x-sin x) =-1+(-1+)=2-2. 【例题2】 【题干】 已知函数f(x)=(cos t-sin t)dt(x0),则f(x)的最大值为________. 【答案】-1 【解析】因为f(x)=sindt =cos=cos-cos =sin x+cos x-1=sin-1≤-1, 当且仅当sin=1时,等号成立. 【例题3】 【题干】 如图,曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由x=或 x=-(舍),所以阴影部分面积 S=dx+dx =+=. 【例题4】 【题干】 一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米,力F(x)做功为( ) A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J 【】 【解析】力F(x)做功为10dx+(3x+4)dx =10x+ =20+26=46. 四、课堂运用 【基础】 1.dx=( ) A.ln x+ln2x B.-1 C. D. 2.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)dx=3f(x0),则x0等于( ) A.±1 B. C.± D.2 3.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( ) A. m B. m C. m D. m 【巩固】 4.设a=sin xdx,则曲线y=f(x)=xax+ax-2在点(1,f(1))处的切线的斜率为________. 5.(2013·孝感模拟)已知a,则当(cos x-sin x)dx取最大值时,a=________. 【拔高】 6.求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积. 7.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,直线OP与曲线y=x2围成图形的面积为S1,直线OP与曲线y=x2及直线x=2围成图形的面积为S2,若S1=S2,求点P的坐标. 课程小结 1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数,求导公式和导数的四则运算法则,从反方向上求出F(x). 2.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简,再积分. 3.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法,确定被积函数和积分上
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