《2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理数答案 》.docxVIP

DT数学 余老师 联系电话 微信号：dutudutu 想象力比知识更重要！ PAGE \* MERGEFORMAT8 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）A卷 一、选择题 题号12345678答案DADBABCB 二、填空题 必做题 9. 6 10. 10 11. 1 12. 1560 13. （二）选做题 14. 15. 8 解答题 16.（本小题满分12分） 解：（1）因为，所以. 即，且，所以. （2）易求得. 若与的夹角为，则. 化简为：. 因为，所以. 所以，解得：. 17.（本小题满分12分） 解：（1）由已知，将36名工人分为4组，每组抽取一名工人. 因为在第一分段中抽取的是年龄为44的工人，即编号为2的工人，故每隔4个编号取一名工人，列出样本的数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37. （2）均值； 方差 . （3）由题意，在区间共有工人23人，所占的百分比为. 18.（本小题满分14分） （1）证明：因为，点为中点，所以. 又因为平面平面，交线为，所以平面. 又平面，所以. （2）解：由（1）知，. 因为四边形为长方形，所以. 又因为，所以平面. 而平面，所以. 由二面角的平面角的定义，可知为二面角的平面角. 在中，，所以. 从而二面角的正切值为. （3）解：连结. 因为，所以. 易求得，. 所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角. 即，在中，. 所以直线与直线所成角的余弦值为. 19.（本小题满分14分） 解：（1）函数的定义域为. 因为， 所以函数在上单调递增，即的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）因为，所以，. 且，满足 由（1）知，在上单调递增，故在上仅有一个零点. （3）设点，由题意，，解得：. 所以，即点的坐标为. 所以. 由题意可得，. 要证明：，只需要证明：， 只需要证明：， 只需要证明：. 构造函数：，. 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以函数有最小值，即. 所以，故，故原不等式证明成立. 20.（本小题满分14分） 解：（1）圆的方程化为，所以圆心坐标为. （2）法1：（代数法） 设，的中点 其中. 由题意可知：直线的斜率必存在，设为. 将上述方程代入圆的方程，化简得：. 由题意，可得：. 所以，代入直线的方程，得：. 因为， 即. 由①解得：，所以. 所以线段的中点的轨迹的方程为：. 法2：（点差法） 设，的中点 其中. 将的坐标代入圆的方程，得：. 由①—②得，. 整理得：. 因为四点均在直线上，所以. 所以：，以下同法1. （3）由（2）知，曲线是在区间的一段圆弧. 如图，，直线过定点. 联立直线的方程与曲线的方程，整理得：. 令判别式，解得：，由求根公式解得交点的横坐标为 结合图像可以判断，当直线在弧上运动时（不包括两点），要与曲线只有一个交点，则满足，即. 21. （本小题满分14分） 解：（1）当时，；当时，. 解得：； 当时，. 解得：. （2）当时，① ② 由①—②得，，所以 经检验，也适合上式，所以. 当时，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 所以. （3???，. 当时，显然成立. 当时，也成立. 当时， 令，数列的和为. 则，. 两式相减得： 求得： 所以当时， 构造函数，. 所以在上单调递减，从而. 即，所以. 综上，满足. （以上解答若有疑问或错误，敬请指出！）