数学建模课程试卷与解答.docVIP

数学建模模拟试卷与参考解答 1．现有11个点的无向图见图1，求点1到点11的最短路。 图1 无向示意图 参考解答 路径为1(2(5(6(3(7(10(9(11 最小值为13 2. 某有10个城镇见图2，它们之间的距离见表1。城镇1处有一条河流，现需要从各城镇之间铺设管道，使城镇1处的水可以输送到各城镇，求铺设管道最少的设计方式。 图2 10个城市地理位置示意图 表1 10个地区之间的距离（单位：公里） 地区 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 8 5 9 12 14 12 16 17 22 2 8 0 9 15 16 8 11 18 14 22 3 5 9 0 7 9 11 7 12 12 17 4 9 15 7 0 3 17 10 7 15 15 5 12 16 9 3 0 8 10 6 15 15 6 14 8 11 17 8 0 9 14 8 16 7 12 11 7 10 10 9 0 8 6 11 8 16 18 12 7 6 14 8 0 11 11 9 17 14 12 25 15 8 6 11 0 10 10 22 22 17 15 15 16 11 11 10 0 参考解答： 故最优树（最佳铺设管道的方式）见图3。 图3 最优管道铺设方式 3 有七种规格的包装箱要装到两辆平板车上.包装箱的宽和高是一样的，但厚度(厘米)和重量(公斤)是不同的。表2给出了每种包装箱的厚度，重量以及数量。每辆平板车有10.2米的地方可用来装包装箱(象面包片那样)，载重为40吨。由于地区货运的限制，对类包装箱的总数有一个特别的限制：这三类包装箱所占的空间(厚度)不能超过302.7厘米。 表2 包装箱参数信息 包装箱类型 厚度(厘米) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0 重量(公斤) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 件数 8 7 9 6 6 4 8 问题要求：设计一种装车方案，使剩余的空间最小。 参考解答： 设类包装箱厚度厘米，重量公斤，件数为件。 设第一辆车装载类包装箱件，第二辆车装载类包装箱件。 第一辆车剩余空间 第二辆车剩余空间 总剩余空间最小为目标，则目标函数为: 约束满足: 1). 件数满足，且为整数。 2). 各辆车载重量过40吨，有： ， 3). 各辆车载长度不超过10200厘米,有: 4) 类包装箱的厚度不能超过302.7厘米,有: 由此得到整数线性规划模型： 得到解为: 目标值. 其中第一辆平板车剩余空间0.1厘米; 第二辆平板车剩余空间0.5厘米; 4 油井钻探问题 某公司拥有一块可能有油的土地，该公司可以自己钻井，也可以出租给其它公司开采。如果出租土地，租约有两种形式：一是无条件出租，租金45万元；另一种是租金根据产量而定，产量在20万桶或以上，每桶提成5元；产量不足20万桶时不收租金。设钻井费用为75万元，有油时需要另外再增加开采设备费用25万元。油价为每桶15元。为将问题简化，将油井分为4种状况：产油50万桶，记为；产油25万桶，记为；产油5万桶，记为；无油，记为。 根据历史资料，各种情况发生的概率分布见表1。 表3 油田4种情况的概率分布 油产量 50万桶 25万桶 5万桶 无油 概率P 0.1 0.15 0.25 0.5 假定决策人风险中立，那么决策人选择什么行为？ 参考解答： 决策人可以选择的方式有三种：自己钻井，记为；无条件出租，记为；有条件出租，记为。三种选择在不同情况下的收益见表4。 表4 3种决策的收益表 情况 行为决策 50万桶 25万桶 5万桶 无油 平均收益 (万元) 自己钻井 650 275 -25 -75 62.5 无条件出租 45 45 45 45 45 有条件出租 250 125 0 0 43.75 其中每种决策的平均收益按油田每种情况的概率进行加权平均。 采用不同行为的的平均收益计算式为： （万元） （万元） （万元） 根据决策人风险中立，我们选取平均收益最大的决策行为。因此决策人将选择自己钻井，平均收益为62.5万元。