《高考第二轮复习数学全国理科专题升级训练29　解答题专项训练立体几何专题升级训练卷附答案》.docVIP

专题升级训练29　解答题专项训练(立体几何) 1．有一根长为3π cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？ 2．已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)． (1)证明：AB⊥CD； (2)当A1D＝10，A1A2＝8时，求四面体ABCD的体积． 3．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点． (1)求证：CM⊥平面FDM； (2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明． 4． (1)证明直线BC∥EF； (2)求棱锥F－OBED的体积． 5． 6． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC； (3)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值． 7． (1)证明：PA⊥BD； (2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值． 8． (1)证明：PF⊥FD； (2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD； (3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值． 1．解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度． AC＝＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为5π cm. 2．(1)证明：在四面体ABCD中， ∵AB⊥平面ACDAB⊥CD. (2)解：在题图2中作DE⊥A2A3于E. ∵A1A2＝8，∴DE＝8. 又∵A1D＝A3D＝10，∴EA3＝6，A2A3＝10＋6＝16. 又A2C＝A3C，∴A2C＝8. 即题图1中AC＝8，AD＝10， 由A1A2＝8，A1B＝A2B得图1中AB＝4. ∴S△ACD＝S△A3CD＝DE·A3C＝×8×8＝32. 又∵AB⊥面ACD，∴VB－ACD＝×32×4＝. 3．解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝a. (1)证明：∵FD⊥平面ABCD，CM平面ABCD， ∴FD⊥CM. 在矩形ABCD中，CD＝2a，AD＝a，M为AB中点，DM＝CM＝a，∴CM⊥DM. ∵FD平面FDM，DM平面FDM，FD∩DM＝D，∴CM⊥平面FDM. (2)点P在A点处． 证明：取DC中点S，连接AS，GS，GA， ∵G是DF的中点，∴GS∥FC. 又AS∥CM，AS∩AG＝A， ∴平面GSA∥平面FMC.而GA平面GSA， ∴GP∥平面FMC. 4．(1)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点．由于△OAB与△ODE都是正三角形．所以OBDE，OG＝OD＝2. 同理，设G′是线段DA与FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2.又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合． 在△GED和△GFD中，由OBDE和OCDF，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. (2)解：由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝，而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝. 所以S四边形OBED＝S△EOB＋S△OED＝.过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F－OBED的高，且FQ＝， 所以VF－OBED＝FQ·S四边形OBED＝. 5．解：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系， 则C(0,0,0)，A(，－1,0)， B1(,1,2)，D(,,2)， 则＝(,,2)， ＝(,1,2)． 设平面B1DC的法向量为 n＝(x，y,1)，由 解得n＝(－,1,1)． 又∵， ∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. 6(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN.在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点， 所以MN∥CD，且MN＝CD. 由已知AB∥CD，AB＝CD， 所以MN∥AB，且MN＝AB， 所以四边形ABMN为平行四边形． 所以BM∥AN. 又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF， 所以BM∥平面ADEF. (2)证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD. 又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD， 所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC. 在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2. 在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4. 所以BC⊥BD. 所以BC⊥平面BDE. 又因为BC平面BCE， 所以平面BDE⊥平面BEC. (3)解：由(2)