《初二奥数辅导_非负数》.docVIP

初二奥数辅导 非负数?所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．? 　　1．实数的偶次幂是非负数 　　若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0． 　　2．实数的绝对值是非负数 　　若a是实数，则 　　性质?绝对值最小的实数是零． 　　3．一个正实数的算术根是非负数 　　 　　4．非负数的其他性质 　　(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则 　　a1＋a2＋…＋an≥0． 　　(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0． 　　在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多． 　　(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数． 　　(5)最小非负数为零，没有最大的非负数． 　　(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数． 　　应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决． 　　 　　　 　　解得a=3，b=-2．代入代数式得 　　 　　　 　　解?因为(20x-3)2为非负数，所以 -(20x-3)2≤0．?① 　　 -(20x-3)2≥0．?② 　　由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以 　　原式=｜｜20±0｜＋20｜=40． 　　说明?本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质． 　　例3?已知x，y为实数，且 　　解?因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有 ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????　　????　 　　　 　　解?因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以 a2-4a+4+b2-2b+1=0， 　　即?(a-2)2+(b-1)2=0． 　　(a-2)2=0，且?(b-1)2=0． 　　所以a=2，b=1．所以 　　 　　例5?已知x，y为实数，求 　　u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值． 　　解?u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 　　　　=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2 　　　　=(x-y+1)2+(2x-y)2+2． 　　因为x，y为实数，所以 　　(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当 ???????????????????????????????????????????????? ??????时，u有最小值2，此时x=1，y=2． 　　例6?确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数． 　　解?将原方程化为 　　a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0， 　　即 　　(ax-1)2+x2+a2+3=0． 　　对于任意实数x，均有 　　(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故 　　(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根． 　　例7?求方程的实数根． 　　分析?本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题． 　　　 　　 　 　　解之得 　　经检验，均为原方程的解． 　　说明?应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件． 　　例8?已知方程组 　　 求实数x1，x2，…，xn的值． 　　解?显然，x1=x2=…=xn=0是方程组的解． 　　由已知方程组可知，在x1，x2，…，xn?中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为 　　 将上面n个方程相加得 又因为xi为实数， 　　 　　经检验，原方程组的解为 ???????????????? 　　例9?求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值． 　　解?由于a，b为非负整数，所以 ??????????????? 　　解得 ??????????????? 　　例10?当a，b为何值时，方程 　　x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？ 　　解?因为方程有实数根，所以△≥0，即 　　△=4(1+