《线性代数》电子教案总复习.ppt

《线性代数》电子教案 线性代数总复习 第六部分 二次型 二次型 基本概念 标准型化 正定二次型 第六部分 二次型 定义：含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次函数 矩阵表示：f xTAx——A对称，称A为f的矩阵，称f 为A的二次型，且f与A一一对应。 标准形：只含平方项 规范型：ki在-1,0,1,中取值 二次型的秩：R f R A 惯性定理 线性代数总复习 第六部分 二次型 基本概念 标准型化 正定二次型 二次型 配方法 正交变化法 写出二次型矩阵A 将A相似对角化，同时得正交变换矩阵Q 令x Qy，即得标准型 定义 ?x ? 0 ? f x 0 充要条件 特征值全大于0 正惯性指数等于n A与E合同 顺序主子式全大于0 有可逆阵Q, 使A QTQ ? * 总复习 线性代数总复习 第一部分 行列式 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 逆序 奇/偶排列 一个排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。 一个排列中所有逆序的总数叫做该排列的逆序数。 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 逆序 奇/偶排列 逆序数为奇数的排列叫奇排列。 逆序数为偶数的排列叫偶排列。 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 D 不同行、不同列元素乘积的代数和 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 行列式互换两行 列 ，行列式变号。 推论: 行列式有两行 列 相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行 列 的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。 推论: 行列式的某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式符号外。 性质4 行列式中有两行 列 的元素对应成比例，则此行列式为零。 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 性质5 若行列式中某一行 列 的元素都是两数之和，即若 性质6 行列式某一行 列 的k倍加到另一行 列 上，行列式值不变。 则此行列式等于两个行列式之和，即 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 第一部分 行列式 代数余子式 一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去, 留下来的n?1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij, 令Aij ?1 i+jMij, 并称之为aij的代数余子式. 线性代数总复习 行列式 排列 概念 性质 展开式 计算 应用 第一部分 行列式 克拉默法则 求解齐次线性方程组的一种方法 齐次线性方程组有非零解的充分条件 三角化法 递推法 数学归纳法 展开法 拆项法 … 线性代数总复习 其它几个重要定理及结论： 定理 n阶行列式的某一行 列 元素与另一行 列 的对应的代数余子式乘积之和为零. 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn 0 i ? j a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj 0 i ? j . 上 下 三角行列式的值等于主对角线元素的乘积 第一部分 行列式 线性代数总复习 第二部分 矩阵 第二部分 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 m×n个数构成的m行n列的数表 加法：A+B aij+bij , A、B是同型矩阵 A + B B + A, A + B + C A + B + C , A + O A, A + ?A O, 数乘：kA k aij k lA kl A, k + l A kA + lA, k A + B kA + kB cij ? aikbkj. k 1 s 矩阵乘法：AB C，其中 C是m×n矩阵. AB C A BC , A B+C AB + AC, A+B C AC+BC, kA B k AB . 线性代数总复习 第二部分 矩阵 第二部分 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 转置： A aij , AT aji 方阵的行列式： AT T A, kA T kAT, A+B T AT + BT, AB T BTAT. 设A [aij]n?n为方阵, 元素aij的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵 为方阵A的伴随矩阵. 矩阵 线性代数总复习 第二部分 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B,