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Standford 机器学习 逻辑回归（Logistic Regission ）以 及过拟合问题解决（Regularization ） By Jackie_Zhu 更多Standford 机器学习笔记，请关注我的博客 /usingnamespace_std/article/details/8895270 1. 分类问题 判断一封邮件是否为垃圾邮件，判断肿瘤是良性的还是恶性的，这些都是分类问题。在分 类问题中，通常输出值只有两个（一般是两类的问题，多类问题其实是两类问题的推广） （0 叫做负类，1 叫做正类）。给定一组数据，标记有特征和类别，数据如 （x(i),y(i) ），由于输出只有两个值，如果用回归来解决会取得非常不好的效果。 在良性肿瘤和恶性肿瘤的预测中，样本数据如下 上图是用线性归回得到的结果，那么可以选定一个阈值0.5，建立该模型后就可以预测： 如果训练数据是这样的 很明显，这样得到的结果是非常不准确的。线性回归中，虽然我们的样本输出数据都只有 0 和1，但是得到的输出却可以有大于1 和小于0 的，这不免有点奇怪。Logistic Regission 的假设就是在0 和1 之间的。 2. Logistic Regission 我们希望的是模型的输出值在0 和1 之间，逻辑回归的假设，这个假设的推导在网易 公开课的广义线性模型中有提到（分类的概率满足伯努利分布），这个以后再说 g(z) 的函数图象是这样的一个S 型曲线 现在只要假定，预测输出为正类的概率为H (x;theta) （因为根据该曲线，H 是1 的时候 输出刚好是1），根据概率之和为1，可以得出如下式子 根据这个式子就可以来预测输出的分类了。和前面的线性回归一样，h(x)大于 0.5 的话， 输出有更大的概率是正类，所以把它预测成正类。 从S 型曲线可以看出，h(x)是单调递增的，如果h(x)0.5 则theta*x0 反之，theta*x0, 这个反映到x 的坐标下，theta*x=0 刚好是一条直线，theta*x0 和theta*x0 分布在该 直线的两侧，刚好可以把两类样本分开。 如果数据是这样的，很明显一条直线无法将它隔开 因此需要像多项式回归一样在x 中添加一些feature，如 和前面一样y=theta0+theta1*x1+theta2*x2+theta3*x1^2+theta4*x2^2=0 是一条曲线，y0 和y0 分布在该曲线两侧。得到了以上模型，只要用学习算法学习出最优的theta 值就 行了。 要学习参数theta ，首先要确定学习的目标，即Cost Function 。在线性回归中，我们选 取的Cost Function 是 ， 使得每个样本点到曲线的均方误差最小，要注意Logistic Regission 中，h(x)带入J 中得 到的一个函数不是Convex 的，形状如这样 因此这样的一个J(theta)不能用梯度下降法得到最优值，因为有多个极值点。 由于这个文类问题中，两类的概率满足伯努利分布，所以 这两个式子可以写成 给定一些样本点，可以使用极大似然估计来估计这个模型，似然函数为： 这里要求L(theta) 的最大值，所以在前面添个负号就变成了求最小值，就可以用梯度下 降法求解了。 观察J 的前后两项，都是单调函数，因此J 是Convex 函数，目标就是要最小化这个函 数，因此可以用梯度下降法。 求偏导之后发现这个式子和线性回归中的那个式子的相同的，要注意的是这里的 h(theta)和线性回归中的是不一样的，需要区分。这样就得到了逻辑回归的分类模型！ 3. 过拟合问题以及解决方法（Regularization ） 下面三个例子中，二是拟合的比较好的，一中有着较大的MSE ，不是很好的模型，这 种情况叫做under fit ，第三种情况虽然准确得拟合了每一个样本点，但是它的泛华能 力会很差，这种情况叫做overfit 。 在Logistic Regression 中，上面三种情况对应的就是 Underfit 和Overfit 是实践过程中需要避免的问题，那么如何避免过拟合问题呢？ 第一种方法就是减少feature，上面的例子中可以减少x^2 这样的多项式项。 第二种方法就是这里要介绍的Regularization ，Regularization 是