不等式∏n I=1(1xi-xi)≥(n-1n)n的一般化和初等证明.pdfVIP

中学数学研究 2010年第4期 ‘ i=1 n Xi 山东聊城大学数学科学学院(252059)谷焕春 文[1]提出一个猜想：设zf0(i=1，2，一步的推广． …，扎)，咒≥3，i∑=1墨。l，则旦(去一zf)≥(咒一 工)n①． 行)，夏zi≤1，则Ⅱ(一zi)≥(‘!L—L三}一)“． ，z 吨i酗n≤1测亟(．A1ti卢l = · 6 ，z 一 厶Xi 文[2]用逐步调整法证明了①式．文[3]细 致地探讨了①式的证明策略，用拆项法和磨光 立． 变换对①式给出了两种初等证明．这些证法的 证明：用数学归纳法．设置0(i=1，2， 计算量都比较大，反映了该问题有一定的难度， 同时也提示我们应当寻求更为简捷的本质证 法．波利亚指出：“较复杂的定理可能更容易证 明，较普遍的问题可能更容易解决．”本文先将 ①式转化为较一般的结果，用数学归纳法给出 一个较容易的初等证明，最后给出了①式更迸 (1)假定有5门这种高射炮控制该区域，求角色．对于所设计的教学过程，能否取得预期 敌机进入该区域后被击中的概率； 的、理想的效果，关键在于学生能否充分参与教 (2)敌机一旦进入这个区域后有90％以上学过程．为此，必须充分调动学生参与的积极 的可能被击中，需至少布置几门这种高射炮? 性，鼓励学生在参与的实践中，敢于面对困难， 点评：教学中也可让学生自行举例，教师适 通过不断探索解决问题的新途径去克服困难； 时加入讨论，并采取变式的办法，在学生所举实 其次，在探究过程中，教师要把自己当成一名初 例的基础上加以引伸，使之变得典型．这样做， 学者，退到和学生在同一起点上来思考问题、分 一方面可保持心理学上所说的“同体观效应”即 析问题，共同体验科学探究的过程．这样才有可 “自己人效应”，以减少“出数学题”的神秘感；另 能在教师的教与学生的学之间形成一个立体化 一方面可使发散的问题暂时统一，从而确定师 的、纵横交错的信息流通网络，进而产生一种整 生共探的目标，提高探索活动的有效性． 体效应，使学生在知、情、意等各个方面得到全 2．5课堂小结 面和谐的发展． 让学生谈感想． 第二，要注意学法的指导．学法指导是素质 2．6作业布置 教育的一个重要要求，要教会学生科学的学习 课本P135习题10．7，8，9，10． 方式、方法，既授人以鱼，又教人以渔．在解决问 3．教学实施中需注意的几点 题的过程中关键是要为学生提供思维策略和思 第一，要注意让学生充分参与，教师要转变 维方法的指导． ·17· 万方数据 2010年第4期 中学数学研究 z22223+z23221)一z21工22232]，其中一(z；+z；+ T$～371)]6≥[(_k+l z；)=一