球覆盖性质不是同胚不变的.pdfVIP

中国科学A辑：数学，2007，37(8)：910—914 中国科学杂志社 http：／／www．scichina．corn SCIENCEINCHINAPRESS 球覆盖性质不是同胚不变的 程立新术 程庆进 刘小燕 (厦门大学数学科学学院，厦门361005) 摘要 球覆盖性质既不是线性同胚不变的，也不是在商映射下不变的，同时，它也不具有子空间的可 继承性． 关键词 球覆盖同胚不变性Gateaux可微性空间Banach空间 MSC(2000)主题分类46820，46G05 1引言 众所周知，整个Banach空间几何学，可以说就是一部单位球和单位球面的几何学．各种 以通过单位球来定义，即使是其它学科分支，直接用“球”研究其他方面的内容，也都成为相 化理论的装球问题(packing 献[22—34])等． 空间x来说，由于其单位球面Sx的可分性，故x具有球覆盖性质．但反之不真!文献[35] 分的．这说明在Gateaux可微性空间中，球覆盖性质是拓扑不变量．由凸集分离定理易证具 造不同的等价范数，证明了Banach空间x的球覆盖性质既不是线性同胚不变的，也不是在 商映射下不变的，同时，它也不具有子空间的可继承性． 收稿日期：200％02—27；接受日期：200％04-19 国家自然科学基金资助项目(批准号 第8期 程立新等：球覆盖性质不是同胚不变的 911 2球覆盖性质不是拓扑不变量 首先，设A∈[0，1]，并定义P：fo。一R为 p(x)=lirasup lx(n)l，Vx=(z(礼))∈2。。． 礼 此时可令”№=刈·lI+(1一A)p，其中¨II表示fo。中的自然范数． 定理2．1 最=(f”，¨队)具有球覆盖性质的充分必要条件是A石1． 在证明该定理之前，我们注意以下事实： 命题2．2 对于自然数集N，存在一个由N的子集构成的不可数集族Ⅳ，满足：Ⅳ中任 一元素Ⅳ含有无限多个正整数，且任两个相异元素之间至多含有有限多个共同元． 证明 C 为证明定理2．1，还需要以下引理： 引理2．3 c 设(R)_罂1为一集合序列，其中RN，硝=∞(V佗∈N)，则存在．[瓯]-黯1， 使得G嚣=∞，G。c R(Vn∈N)且当m，n∈N，m≠佗时，(G。nG。)带∞． 证明 C 由砰=∞，F1 得砑cF1，(砑)社=∞(V 6∈I)且当∈，叩∈N，∈≠卵时，(硭n瑶)带∞． VJ≥l，定义磷1如下： ， 当VA∈五，(A p1 J乃+1， n乃+1)弹∞， ～ An乃+l， 当3A∈五，(A l n乃+1)群=∞． 因五不可数，故存在日∈五，使得vj≥1，有(矸n硌，)社∞． 设对佗≥l，定义耳O≥n)满足 (i)哆c霹～C…C霹三乃； (ii)(矸)带=OO且(瑶n i％1)带OO． C 由(豫1)社=o。，豫l 得，V歹≥n+1，有 (iii)露“c曙c…C霹三乃． n (iV)(只尹+1)孝=。。且(Fn”++11jZ占1)社