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淺談不定方程 左太政 /國立高雄師範大學數學系 一、動機: 不定方程（Diophantine equation）. 問題1.試找出滿足方程式的所有可能正整數解,其中為互質，此種解稱為此方程式的本原解（primitive solutions）。 （提示：或式中 與互質，且 為奇數。） 問題2.你是否能求出此方程式的所有可能整數解？（即與坐標都是有理數）；。,其中。,其中。,其中: （1）。。的所有可能正整數解的幾何意義就是求邊長都是整數 的直角三角形，此種三角形稱為「商高三角形」。 問題1.試證: 商高三角形的面積一定不是整數的平方。 問題2.設試證:必有一個商高三角形其一股長正好是。 三、費瑪最後定理(Fermats Last Theorem): 十七世紀法國一位大數學家費瑪(Fermat, 1601-1665) 過世後,他兒子在整理他的遺稿時發現了許多數學的猜想,其中最著名即為方程式 ()沒有正整數解 (),當時稱為「費瑪最後問題」。關於此方程式: （1）當時,此方程式有無限多組正整數解。 （2）當時,即為商高定理的方程式,有無限多組正整數解(至少有基本畢氏數組,即 ,其中為互質的正整數)。 （3）當時,由近代偉大數學家歐拉 (Euler, 1707-1783)證明沒有正整數解。 （4）當時,由阿貝爾 (Abel, 1802-1829)證明沒有正整數解。 （5）其後一直未能完全解決本問題,直至 1993 年 6 月 23日由美國普林斯頓大學數學系 Wiles(1953- )教授在英國劍橋大學牛頓學院發表一系列有關費瑪最後問題的證明。但當他正式發表時,上有少許內容被質疑有漏洞,他又花了一年時間研究,其間幾乎想放棄證明,直到 1994 年 9 月 19日終於完成。於 1995年他證明費瑪最後定理的文章題目為Modular elliptic curves and Fermats Last Theorem,正式被登在著名數學期刊Annals of Mathematics 上,費瑪最後問題歷經三百多年正式被解決。 問題.試證下列方程式有無窮多組整數解: （1）。。 四、關於不定方程式 1.已知為任一質數，試證: 必可表為四個整數的完全平方數之和。 五、關於不定方程組 。 【類題】：1.試解不定方程式 。 2.試證：不定方程組沒有正整數解。 六、練習題 1.試求不定方程 的所有整數解. 2.試求所有正整數使得成立。 3.試求所有正整數使得方程式有整數解。 4.試求不定方程 的所有整數解 5.試求不定方程 的所有質數. 6.試求所有正整數滿足 是整數。 7.試求不定方程 的所有非負整數解. 8.試證: 方程式有無限多組整數解. 9.試證:必存在正整數,使得對所有正整數都成立。 10.試求所有整數,滿足方程式. 2