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§4 极值原理、惟一性与稳定性 【知识点提示】 椭圆型方程的极值原理，惟一性和稳定性。 【重、难点提示】 掌握椭圆型方程极值原理的证明思想，并由此证明解的惟一性与稳定性。 【教学目的】 掌握椭圆型方程极值原理的证明思想，能熟练的证明第一边值问题解的惟一 性和稳定性，第二边值问题解的惟一性。 【教学内容】 第四节 极值原理、惟一性与稳定性 4.1. 极值原理 4.2. 第一边值问题解的惟一性和稳定性 4.3. 第二边值问题解的惟一性 4.1. 极值原理 考虑Rn 中有界连通区域内的方程： n Lu u  b (x x x )u c (x x x )u f (x x x ) n  i 1 2 n xi 1 2 n 1 2 n i 1 (4.1) 其中b (x x x )c(x x x )f (x x x ) 都是 上的连续函数, 是 i 1 2 n 1 2 n 1 2 n 的边界. 定理 6.5 (强极值原理) 设在上c(x x x ) 0f (x x x ) 0 , 则方程 1 2 n 1 2 n (4.1)的解u 不能在的内点上达到其非负最大值. 证 用反证法. 若u 在某点M 0 达到非负最大值，则有 2 u  u          u M M M i n ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 2 ( 0 ) 0 1 2  x x i i 于是 n u  u M  b M M c M u M   n ( 0 )  i ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 i 1 xi 而f (M 0 ) 0 ,这样一来，(4.1)在点M 0 处产生矛盾. 由此定理得证. 定理 6.6 (弱极值原理) 设在上c(x x x ) 0f (x x x ) 0 且 1 2 n 1 2 n b c C() , 则方程(4.1)的解u 的非负最大值(如果存在的话)必在的边界上达到. i