3 线性控制系统的能控性与能观测性修改 《现代控制理论基础（第3版）》课件.ppt

第三章 线性控制系统的能控性与能观测性 例2:取 和 作为状态变量,u—输入, y= --输出. 3.6 能控标准型和能观测标准型 能控能观测性分解示意图： 非奇异变换阵的构造： 逐步分解法： 原系统 能控能观测： 能控不能观测： 能控： 不能控： 能控性分解 1 2 3 不能控能观测： 不能控不能观测： 其中： 3.8 传递函数阵的实现问题 实现的基本属性 能控性实现和能观测性实现 最小实现 所以 能观测。 ***：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。 反之亦然。 一、单输入系统的能控标准型 n维线性定常系统 如果状态完全能控，必有： 上述能控判据矩阵中，有且仅有n个列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量或其某种组合构成状态空间的一组基底。所谓能控标准型，就是指系统在上述基底下所具有的标准形式。要使列向量取法唯一，则r=1。故能控标准型仅讨论SI系统。 1、能控标准I型 其中： 如果单输入线性定常系统： 是状态能控的， 将状态方程化为能控标准I型： 则存在线性非奇异变换： 非奇异变换阵为： 是 相乘的结果： 通过推导，得出： 推导过程：见教材P89 提示：令 由 的列向量的线性组合组成，即： [例]：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为能控标准I型。 注意：非特别标明，能控标准型指的是能控标准I型。 [解]： 1）判断系统能控性 2）计算特征多项式 3）计算变换阵，并化为能控标准I型 [例]：写出以下传递函数的能控标准I型。 [解]： 无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。 所以： 能控标准I型为： 2、能控标准II型 其中： 如果单输入线性定常系统： 是状态能控的， 将状态方程化为能控标准II型： 则存在线性非奇异变换： 推导过程： 由凯利－哈密顿定理有： 代入有： 写成矩阵形式： 所以： 由于： 所以： 欲使上式成立，必须有： [解]： 1）判断系统能控性 2）计算特征多项式 3）化为能控标准II型 [例] 试将下列状态空间表达式变换为能控标准II形。 二、单输出系统的能观测标准型 n维线性定常系统 如果状态完全能观测，必有： 上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可取n个线性无关的行向量或其某种组合构成状态空间的一组基底。所谓能观测标准型，就是系统在上述基底下所具有的标准形式。要使行向量取法唯一，则m=1。故能观测标准型仅讨论SO系统。 1、能观测标准I型（对偶于能控标准II型） 如果单输出线性定常系统： 是能观测的， 则存在线性非奇异变换： 将状态方程化为第一能观测标准型： 其中： 非奇异变换阵为： 证明思路：用对偶原理证明，能观测标准I型，就是其对偶系统的能控标准II型。 以下两系统互为对偶系统： 其中： 的能控标准II型为： 根据对偶关系， 的第一能控标准型为： 根据对偶原理， 的能控标准II型就是 的能观测标准I型。 注：状态转移矩阵互为转置逆，故其变换阵也应该互为转置逆： 2、能观测标准II型（对偶于能控标准I型） 如果单输出线性定常系统： 是能观测的， 将状态方程化为能观测标准II型： 则存在线性非奇异变换： 其中： 将 代入上式，即可得到 。 非奇异变换阵为： 证明思路：仍然用对偶原理证明，能观测标准II型，就是其对偶系统的能控标准I型。 [例]：设线性定常系统用下式描述 式中： 试将状态方程化为能观测标准II型。 注意：非特别标明，能观测标准型指的是能观测标准II型。 [解]： 1）判断系统能观测性 3）计算变换阵，并化为能观测标准II型 2）计算特征多项式 [例]：写出以下传递函数的能观测标准II型。 [解]： 无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。 所以： 能观测标准II型为： 3.7 系统的结构分解 按能控性分解 按能观测性分解 按能控能观测性分解 分解的目的： 除了对角线和约当标准型可能明显识别外，其它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性地表示出来。