2 线性系统的运动分析 《现代控制理论基础（第3版）》课件.ppt

* 二、状态转移矩阵的基本性质及计算 1. 基本性质 有与线性定常系统状态转移矩阵相似的性质，主要有 （1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件 （2）传递性 （3）可逆性 * 2. 计算方法 线性定常离散系统状态转移矩阵的计算方法与线性定常连续系统的状态 转移矩阵的计算方法极为相似，下面介绍三种最主要的计算方法。 (1)直接方法 直接根据状态转移矩阵的定义计算 （2-63） （2） 变换方法 （2-64） （3）线性变换方法 用线性变换把系统矩阵 化为标准型。 化为标准型。 * 1）当离散系统的特征值均为相异单根 若离散系统特征方程 的值 两两相异，经线性变换可使系统矩阵 变换为对角线标准 ，即 （2-65） 则离散系统状态转移矩阵为 * 式中， 为对角线标准型矩阵； 为变换 为对角线标准型矩阵 的变换矩阵。 2）当离散系统的特征值有重根 若离散系统特征方程的根 为重根，经线性变换可使系统矩阵 变换为约 ，即 当标准型矩阵 则离散系统状态转移矩阵为 式中， 为约当标准型矩阵； 为变换 为约当标准型矩阵 的变换矩阵。 * 例2-17 线性定常离散系统状态方程 求状态转移矩阵（利用线性变换方法）。 解 求特征值 两个互异特征值 ； 由于系统矩阵 具有友矩阵， * 即能控规范型，可应用式（2-35）“范德蒙德”变换矩阵 ，即取变换矩阵 其逆阵 得到新的系统矩阵为 * 于是，新坐标系下的系统状态转移矩 则原坐标系下的系统状态转移矩 * 三、系统输出响应 状态方程的解代入式（2-52）中的输出方程，即 由于输出矢量 是己知的，所以，极容易求出系统的输出响应。 例2-18 线性定常离散系统状态空间描述 求单位阶跃输入下的输出响应。 * 解 先求状态解 用递推方法求解状态方程 … * 状态解代入输出方程 系统在各采样时刻的输出 ； ； ； 例2-19 线性定常离散系统状态空间描述 求系统单位阶跃输入下的输出响应。 * 解　先求系统的状态响应 用状态转移矩阵求解 由例２-１７所求出的状态转移矩阵 代入 * 将状态解代入输出方程 令式中 便可得到各采样时刻的输出系列 * 第二章 完 * 其中, 对应于 个 (重根) 的矢量, 接下式计算： ; ；... ； (2-39) 而对应于 个互异根的矢量 ，按下式计算 或 或 (2-40) * 例2-11 试将下列系统矩阵 化为约当标准型。 解 求特征值 特征值有3个，其中 ， 两个重根 。 * 对应于 =1的特征矢量 为 根据式（2-40） ，有 解上面方程，求得 * 对应于重根 的特征矢量 , 为 根据式（2-39） 解上面方程，求得 * 根据式（2-39） 解上面方程，求得 * 于是变换矩阵为 系统矩阵变换成为 可见，是一个约当标准型。 可见，是一个约当标准型。 * 3．用线性变换求状态转移矩阵 变换为”对角线型” 或”约当型” 形式；然后用“方法3” ；最后，利用 把任意形式的矩阵 的公式 ， 即“标准型矩阵的计算方法” 求出状态转移矩阵 式（2-31），即 将其反变换回原坐标中去便得到 。 例 2- 12 己知系统矩阵 试用线性变换求状态转移矩阵。 * 解 求矩阵 的特征值 两个特征值为 由于矩阵 具有友矩阵的形式，可直接按范德蒙德（Vandermond）矩阵 得到变换矩阵 * 在新状态空间里 可见,在新的状态空间下的系统矩阵是一个对角形。 根据方法3，新状态定间下的状态转移矩阵为 则原状态空间下的状态转移矩阵，即矩阵 的状态转移矩阵为 * 方法5 实数化的计算方法 本方法是针对具有复数特征值的，也称为模式矩阵的计算方法。当系统矩阵 的特征值有共轭复数 时，虽然可认为有两个相异的特征值，按“方法4”的计算方法化为对角线规范型， 但是在 具体计算特征向量、变换矩阵等过程中碰到复数的运算，麻烦而且复杂。 * 因此，常采用实数化的方法。值得指出的是，使用这种方法不但避免了麻烦而且 复杂的相关计算，而且可以证明所得的状态转移矩阵和用“方法4”计算出的完全相同。 实数化的计算方法是，设系统矩阵 的特征值有共轭复数 （1）先求出 相对应的矩阵 的特征向量 （2）由特征向量 的实部和虚部组成变换矩阵 * （3）变换矩阵 将使系统矩阵 化为“模式矩阵” 注意：“模式矩阵” 是由特征值的实部和虚部组成的。 （4）“模式矩阵” 对应的状态转移矩阵为 （5） 反变换求出原系统矩阵 的状态转移矩阵 * 下面通过例子说明具体的计算方法和过程。 例 2-13 己知系统矩阵 试求系统状态转移矩阵。 解 （1）求特征方程 （2）特征值 * （3）特征向量 由式 求得一对特征向量