多元积分部分的考研题答案1353.doc

多元微积分部分的考研题-数三部分答案 （97，四，5分） （*） 由得，， 由得，， 代入（*）式得，. (97，八,6分) 显然，由 ， 解上述关于的一阶线性非齐次微分方程，得 代入，得，故. （98，三，5分） = （98，四，5分） (99, 二（2）,3分) C 令 由已知等式得 ，两边在D上取 二重积分，则 ，得 (99, 四,7分) 积分区域D 是由一个矩形区域D*减去半圆区域,故 ， 故 (99, 五, 6分) 设 得，从而 因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故时，投入总费用最小 (00, 一（1），3分) (00, 四，6分) 令有 (00, 五，6分) 根据题意，总利润函数为 令 解得 因驻点唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处取得。最大利润为 （2）若实行价格无差别策略，则 则有约束条件 构造拉格朗日函数 解得 则 最大利润 (01, 五，6分) = (02，一(2)，3分) (02，四，7分)在两边微分，得 故 由，得 故 （03，一（3），4分） = = （03，四 、8分） ， 故 ， 所以 = （03，五、8分） 作极坐标变换：，有 = 令，则 . 记 ，则 = = == 因此 ， （04，一(2)，4分）令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =， 所以，，. （05，一（3），4分） , , 于是 . （05，二(8)，4分） 在区域上，有，从而有 由于cosx在 上为单调减函数，于是 因此 ，故应选(A). （05，三（16），8分） 由已知条件可得 ， ， ， ， 所以 = = （05，三（17），9分） 记， ， 于是 = = =+= （06，一(3)，4分） 因为， ， 所以 . （06，二(11)，4分） 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 . 消去，得 , 整理得 .（因为）， 若，则.故选（Ｄ）. （06，三（15），7分） (Ⅰ) . (Ⅱ) （通分） （06，三（16），7分） 积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以 （07，一（4）,4分）B （07，二（13），4分） （07，三（18），11分） 积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的部分，即 利用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得 ，设，其中 于是 由于，故 为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而 ，故 令作换元，则，于是且 ，代入即得 综合以上计算结果可知 （08，一（3），4分） ， 故不存在． 所以存在．故选. （08，一（4），4分） 用极坐标得 所以 . （08，二（11分），4分） . （08,三（16）10分） (I) (II) 由上一问可知， 所以 所以 . (08,三（17），11分) 曲线将区域分成两 个区域和，为了便于计算继续对 区域分割，最后为 （09，二（10），4分）. 【解析】由，故 代入得，. （09, 三（15），9分） ，，故. . 则，，. 而 二元函数存在极小值. (09,三（17），10分) 由得， . （10，三(16) ，10分) 解得时点和点 时点和点 将得到的4个点代入中可得 ， ， 可知函数在约束条件下的最大值和最小值分别为 （11，二(10)，4分） （11，三(16)，10分) 而 （11，三(19)，10分)由题设知， 则 两边关于t求导，得 将代入上式，得 故 . （12，一（3）,4分）B 由知积分区域在第一象限，由知 . （12，二（11），4分） 由知，由连续知， 知在（0,1）可微，且故 . （12，三（16）, 10分） 由已知得，积分区域，则 （12，三（17）, 10分） （1） 当求总成本最小为条件极值问题。 设， 则 由于实际问题一定存在最小值，则极小值点（24,26）即为最小值点。故当甲产品的产量为24件，当乙产品的产量为26件时，总成本最小，最小成本为 由（2）知，当总产量为50件时，甲产品生产24件，总成本最小，此时甲产品的边际成本为。 经济意义：当甲产品的产量为24件时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。 (13,一（3），4