刘炳初泛函分析部分习题解答.pdf

部分习题解答 习题一（P34 ） （6 ）证明在距离空间中，如果一个半径为7 的开球包含在一个半径为3 的开球 中，则两个球重合.                  证 设s 0,7 s 0 ,3  X ,d ，下证：s 0,7 s 0 ,3 . 假设s 0,7  s 0 ,3 ,        则至少存在一点x s 0 ,3 . 但x s 0,7 ，故有d x ,0  7 . 由三角不等式        7 3 3 6 d x,0 d x,0 d 0 ,0 即 . 矛盾 （7 ）证明在空间 中，按距离收敛等价于按坐标收敛. S 证 设x x ,x ,,x   S ， y y ,y ,,y S , 则 1 2 n 1 2 n    1 xi y i d x ,y  i i 1 2 1 xi y i       设点列xn x1n,x2 n,,xk n,，n 1,2,, x0 x1 0 ,x2 0 ,,xk 0 ,. 若 , . 下证: n  0 ， , i 1,2,. 由 , x x n   x x n   x x n   n 0 i i n 0 知 , .   n   d x ,x 0 n 0 即 n  n   x x 1 i 0 , . 2i 1 x n  x n  0 n   i 1 i 0 故有 x n  x 0 ，i 1,2,，n  . （1） i i 反之若（1）成立，从（1）依次递推可得 , n  . 即 中点列若按坐 x x S