初中数学两个全等模式在解证几何题中的应用专题辅导.docVIP

初中数学两个全等模式在解、证几何题中的应用 面对一道几何题，准确迅速地寻求到解、证途径，对提高解、证题的速度显得至关重要．那么，怎样才能准确迅速地寻求到解、证题途径呢?利用模式识别法是解决这一问题的一种有效方法．现介绍两个全等模式，并举例说明它们在解、证几何题中的广泛应用． 全等模式1 如图1，若l1∥l2，点A、C在l1上，点B在l2上，O是线段AB的中点，则延长CO交l2于点D，能得出△BOD≌△AOC。 全等模式2 如图2，若点A、C在l1上，点B是l1外一点，点O是线段AB的中点，则过点B作l2∥l1交CO的延长线于点D，则△BOD≌△AOC。 要解、证的几何题若具备（或能推出）全等模式中的已知条件，则可以通过作辅助线来构造出某个全等模式，得出一对全等三角形，出现一些新的相等（如角、线段）关系，为解证题创造出新的条件，同时可以起到点拨思路、展开思路，迅速获得解、证题途径的效果．下面分类举例说明之． 1、用于证明线段相等 例1、如图3，已知：过点A作射线AF，过C、B作AF的垂线，垂足分别为E、F，M为BC的中点，连结MF、ME． 求证：ME=MF． 证明：延长FM交EC于点N． 由BF⊥AF，CE⊥AF， 得BF∥CE。 又M为BC的中点， 所以△BMF≌△CMN， 所以MF=MN。 所以EM=FN/2=MF， 故ME=MF。 例2、如图4，在△ABC中，BD=DC，BF交AD、AC于点E、F，且AF=EF。 求证：BE=AC。 证明：如图4，过点C作CM∥BF交AD的延长线于点M， 则△CDM≌△BDE。 从而MC=BE， ∠M=∠BED=∠AEF。 因为AF=EF， 所以∠AEF=∠EAF。 因为∠M=∠MAC， 因此MC=AC，所以BE=AC。 2、用于证明角的相等 例3、如图5，平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，AP⊥BE，P为垂足，连结PD。 求证：∠DAP=∠DPA。 证明：如图5，延长BE交AD的延长线于点M， 则△MED≌△BEC， 所以DM=BC。 又AD=BC，所以AD=DM。 又AP⊥BE，所以DA=DP， 故∠DAP=∠DPA。 例4、如图6，△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC。 求证：∠BAE=∠CAE。 证明：如图6，过C作CM∥DF交AE的延长线于点M， 则△CEM≌△DEF， 所以CM=DF。 又DF=AC，所以CM=AC， 因此∠M=∠CAE。 因为DF∥AB， 所以∠DFE=∠M=∠BAE， 所以∠BAE=∠CAE。 3、用于证明线段的倍分 例5、如图7，△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE。 求证：CD=2CE。 证明：过点A作AF∥BC交CE的延长线于F， 则△AEF≌△BEC， 所以FE=EC，AF=BC。 因为AB=AC，AB=BD， 所以AC=BD。 又易证∠CAF=∠CBD， 所以△ACF≌△BDC， 所以CF=CD，故CD=2CE。 例6、如图8，在平行四边形ABCD中，N是AB中点，3BE=BC，NE与BD交于点F。 求证：FD=4BF。 证明：如图8，延长EN交DA的延长线于点M， 则△ANM≌△BNE， 所以AM=BE。 因为AD=BC，3BE=BC， 所以4BE=MD。 由BC∥DM， 得BF/FD=BE/MD=1/4， 所以FD=4BF。 4、用于证明线段（或线段的平方）的和差 例7、如图9，E是正方形ABCD的边CD中点，F是BC上一点，且AE平分∠DAF。 求证：AF=AB+FC。 证明：如图9，连结FE交AD的延长线于点M， 则△EDM≌△ECF， 所以EM=EF，DM=FC。 又∠1=∠2，所以AE⊥FM， 因此AF=AM=AD+DM。 因为AD=AB， 所以AF=AB+FC。 例8、如图10，△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2=DM2+DN2。 求证：。 证明：如图10，过点B作BE∥AC交ND的延长线于点E，连结ME、MN， 则△BDE≌△CDN， 所以DE=DN，BE=CN， ∠EBC=∠C。 因为∠MDN=90°，所以MD⊥EN， 从而ME=MN。 因为， 所以， 所以∠MBE=90°， 因为∠ABC+∠EBD=∠ABC+∠C=90°。 所以∠BAC=90°， 所以。 又BC=2AD， 所以。 例9、如图11，△ABC中，M为BC的中点，D为BM上一点，DF∥MA，分别交AB于E，交CA的延长线于F。 求证：DE+DF=2AM。 证明：过点B作BN∥AC分别交FE、AM的延长线于点H、N， 则△BNM≌△CAM， 所以AM=MN。 由AN∥FH，得四边形HNAF