初学《量子场论》.pdf

初学《量子场论》 在科大这一年代培生活即将结束，我学习《量子场论》的进程 也要告一段落。唯一的遗憾是今后的研究方向不是场论。也许我的同 学对我的建议是有道理的：应该把所学的理论在计算机编程上加以实 现，尤其对于那些分子数目较多的体系。 这一学年，我也仅仅是对场论中的QED 部分有了了解，可以说 是入门吧。总的感觉就一个：delicate 。它的精确程度超过了经典物理 中的任何一个分支，它的结果比Maxwell 的电磁理论还要优美！它将 狭义相对论和量子力学很自然的结合在了一起：协变性，不确定性， 对称性，绘景变换，微扰论，产生湮灭算符等在这个理论框架下得到 了完美的体现。一般说来，进入量子场论有正则量子化和路径积分两 种方式，不过大伙儿都偏向于前者（提供了一个和经典理论对比的平 台）。实际上后者更为自然。 1.对称性 这是基本上是场论中的开场白-Noether 定理-将场的作用量和无 穷小连续变换结合在了一起。大多数教科书一般是从自由多分量标量 场的形式入手，结合变分原理，从时空平移对称性，时空各向同性， 内部对称性，整体规范对称性得到对应的表达式，并将它们作为自由 场相应物理量的定义式。这是类比于经典的做法。但这样有个不好的 1 地方，就是如何知道这样得出的式子能应用于量子情况而不出现异 常。实际上这套理论是自洽的。或许可以接受另外的一套途径：从群 论的角度找到幺正变换的无穷小生成元满足的性质（如Weinberg ）， 然后通过经典的形式构造相应的物理量，结合场的对易关系去验证合 理性。 另一部分的重要内容是要得出场算符和幺正变换的关系式。要 注意的是，场算符不同于量子力学中算符：量子力学中的算符带有坐 标变量，那是因为一个抽象的算符选取了坐标表象而得出的；而在场 论中，没有坐标表象一说，场算符带有坐标参数是本身的性质--在时 空每一点都定义了一个操作。现在，唯一知可以利用的就是经典标量 函数，矢量函数等的变换规律和场算符的性质。得到量子场算符变换 规律最好的阐述是Bailin, Love 的《Gauge field theory》中一个很漂亮 的式子： 从它可以导出变换法则。很自然的，在无穷小变换下，也得到了 场算符的演化方程。 据说Schwinger 的量子作用量原理是个好东西！ 2 2. 自由场 这一部分是以后进行费曼图计算的基础。需要注意的是光场的量 子化时两种规范的选择和极化矢量的完备性关系。最好理解后者的不 同极化矢量的标号和矢量分量的标号。（其实很类似于量子力学中基 矢完备性关系在具体离散表象下的式子）。对于狄拉克场，求解时可 以采用boost 到静止参考系的方法。最好记住不同场传播子的表达式， 以便于以后的推导！ 3.相互作用场和 S 矩阵 这一部分是考虑的相互作用以后求解场的演化性质。粗略的说， 可以直接套用量子力学中相互作用表象（这是一种微扰方法）：这种 表象下场的动力学演化和自由的场方程是一样的。因此可以类比于自 由场作傅立叶展开。但是注意：这时的产生（湮灭）算符不再有产生 （湮灭）单粒子态的意义，因为 这样的式子 不再成立！严格的讲，目的是要计算某个具有确定物理初末态的S 矩 阵。为了达到这一要求，LSZ 约化公式是个好东西，它把S 矩阵转化 为求 3 这和路径积分中的 N 点格林函数一样。因此也可以借用路径积 分来求。在正则量子化体系中，一个很好的方法是Dyson 提出的，他 提出利用这样的变换： 将相互作用场算符和自由场的算符联系在了一起。之后结合各 自的场方程，就得出了U 的演化规律。其实这个结果非常类似于量 子力学中的绘景变换。于是，就可以得到用 H （I ）表示的编时乘积 形式。这个式子其实就是Gellman-Low 公式，Peskin 的书里最初就是 利用这个公式，作微扰展开，去计算标量场的φ^4 理论的。 接下来的事情就是利用Wick 定