§2.4 麦克斯韦速度分布.ppt

§2.4 麦克斯韦速度分布 前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分布，然后再从速度分布得到速率分布的。 本节中介绍麦克斯韦速度分布。 为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。 §2.4.1速度空间 一、速度矢量、速度空间中的代表点 （1 ) 速度矢量 要描述气体分子的速度大小和方向，需引入速度矢量这一概念， 速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子速度的大小、方向一致。 一个分子仅有一个速度矢量。 （1) 速度空间中的代表点 把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、vy、vz作直角坐标图， 所有分子速度矢量的起始点都平移到原点O上。 在平移时，矢量的大小、方向都不变。 平移后，以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把矢量符号抹去。 这样的点称为代表点。 如图中的P点所示。 以直角坐标表示的速度空间 以速度分量vx、vy、vz为坐标轴， 以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐标称为速度空间。 速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位置，而是速度的大小与方向。 二、速度空间中代表点的分布 若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，如图所示 速度空间代表点分布与靶点分布类似： 在图2.2（a）中，靶点位于x 到x+dx，y 到y+dy范围内的概率是以f（x，y）dxdy来表示的，其中dxdy为这一区域大小，f（x，y）是黑点分布的概率密度。 （1）速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率是怎样的? 在三维速度空间中，在vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz区间内,划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。 数出在这微分元中的代表点的数目dN（vx、vy、vz），并把 它表示在dvxdvydvz小体积元中代表点的相对密集程度。 我们可以这样来求出dN（vx、vy、vz）. 首先求出速度空间中厚为dvx 无限大平板中的概率. 我们问，在N个分子中速度 x分量落在vx 到vx+dvx范围内而vy ,vz 在任意的范围内的分子数 dN（vx）是多少？, 在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为dvx的无穷大平板，如图所示. 若设此平板中代表点数为dN（vx），则dN（vx）/N 表示分子的速度处于vx 到vx+dvx而vy、vz为任意值范围内的概率。 显然这一概率与板的厚度dvx成比例。 并有dN（vx）/N = f(vx)dvx 称分子x方向速度分量概率分布函数 同样可分别求出垂直于vy轴及vz轴的无穷大薄平板中代表点数dN（vy）及 dN（vZ）,则 dN（vy）/N = f(vy)dvy dN（vz）/N = f(vz)dvz 分别表示y及z方向速度分量概率分布函数。 根据处于平衡态的气体的分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故 f（vx）、f（vy）、f（vz）应具有相同形式。 （2）速度空间中一根截面积为dvx dvy的无穷长的方条中的概率是怎样的?  进一步问，分子速率介于vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，而vz在任意的范围内的分子数 dN（vx，vy）是多少？ 显然这些分子的代表点都落在一根平行于vz轴、截面积为dvx dvy的无穷长的方条中。 因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率是f（vx）dvx，分子落在垂直于vy轴的平板内的概率是f（vy）dvy。 由相互独立的同时事件概率相乘法则可知， 分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数dN（vx，vy）与总分子数N的比值 （3）最后要问，分子速度分量处于vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz范围内的概率是多少？ 只需在图中再作一垂直于vz轴的、厚度为dvz的无穷大薄平板. 而dN（vx、vy、vz）/N 就是所要求的概率. 因为vx ，vy，vz相互独立，故 dN（vx、vy、vz）/N =f(vx)dvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz 显然，速度分布概率密度f（vx ，vy，vz）是分子分别按速度的x、y、z方向分量分布的概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘积。 分子处于速度空间任一微小范围dvxdvydvz内的概率是 f（vx ，vy，vz）与dvxdvydvz的乘积。 ?§2.4.2 麦克斯韦速度分布