固体和结构分析中基于变形分析的有限元法(DBFEM).docVIP

固体和结构分析中基于变形分析的有限元法(DB FEM) 1.1概论 1.2固体和结构的经典分析理论和方法 1.2.1固体和结构的经典分析理论 1.2.2固体和结构的经典分析方法 1.3固体和结构的变形分析所引入的基本假定和遵循的原理 1.3.1基本假定 1.3.1.1小变形假定 1.3.1.2保形假定 1.3.1.3平截面假定 1.3.1.4理想弹塑性材料假定 1.3.2遵循的基本原理 1.3.2.1线性叠加原理 1.3.2.2力的平衡原理 1.4固体和结构中任意一点的变形 1.4.1变形叠加 1.4.2变形参数、、、 1.4.3几何修正 1.4.4局部不连续问题 1.5基本自由度 1.6插入函数和形函数 1.7固体和结构单元中任意一点的位移 1.8固体和结构单元中任意一点的应变和应力 1.9固体和结构单元中任意一点的应变矩阵 1.10固体和结构的有限元基本方程 1固体和结构分析中基于变形分析的有限元法(DB FEM) 1.1概论 基于变形分析的有限元法(DB FEM)是通过建立固体和结构或固体和结构中任意一个子域中一点的变形关系，并且假设子域中变形的分布规律，给出变形和单元基本变形的关系，然后引入有限单元法，继而可计算该点的应变，采用能量原理即可得到单元的有限元基本方程，方程中的刚度矩阵具有较好的耦合性。 采用DB FEM可以解决处于复杂应力状态的固体和结构的分析，如考虑剪切变形的三维应力问题、考虑剪切变形的一维空间梁柱、考虑剪切变形的三维空间梁柱、考虑剪切变形的二维板壳、考虑剪切变形的三维板壳。 此外，还可以考虑进入塑性状态的固体和结构中任意一点的塑性变形。 1.2固体和结构的经典分析理论和方法 1.2.1固体和结构的经典分析理论 处于复杂应力状态的固体和结构在荷载作用下的响应，通常是分别对于简单应力状态下的响应进行叠加，所以固体和结构在荷载作用下的响应 (1.2.1) 其中：为在单向或平面或空间作用下产生的一维或二维或三维响应；为在弯矩作用下产生的弯曲响应； 为剪力产生响应； 为约束扭转引起的响应。 上式反映了固体和结构中最基本的拉、压、弯、剪、扭的响应。对于一个具体的应用问题，导致拉、压、弯、剪、扭响应的原因很多，可以根据具体的应力状态或变形状态给出具体的表达式。但是在经典的理论中要达到精细的分析是比较困难的，因此不得意引入很多假定把问题简化。 1.2.2固体和结构的经典分析方法 如果在上式中考虑的效应为应力，一个最常用的办法是在固体和结构中任意取一个微元体，对作用在微元体各个面上的应力进行分析得到平衡方程，进而得到控制方程，随后将这些简单应力状态下控制方程的位移解或应力解进行叠加，来表示复杂应力状态的效应。 同样，也可采用能量原理来实现，即用简单应力状态的能量进行叠加，来表示复杂应力状态的能量。引入能量原理，同样可以得到控制方程。如果得到的是以位移为未知数的控制方程，即求解系统的位移，进而计算固体和结构中的应力。 由上可见，在常用的经典方法中，为分析复杂应力状态中固体和结构的应力，采用了叠加原理，但是在叠加中忽略了各叠加项之间的耦合关系，认为各叠加项是线性独立的，叠加的是最终的效应而不去注意它产生效应的过程。 1.3固体和结构的变形分析所引入的基本假定和遵循的原理 1.3.1基本假定 1.3.1.1小变形假定 小变形假定是指固体和结构在任意一个增量过程中产生的变形与其几何相比是极其微小的，这样才能保持各种线性关系的假定。 1.3.1.2保形假定 在增量过程中，不考虑因微小的弹性变形而对固体和结构的几何外形的改变。但是出现塑性变形后或发生几何变形后，如局部屈曲，固体和结构几何形状将发生改变，这部分几何形状的改变是不可逆的，在弹性变形范围内，固体和结构的形状可假定为不变，即截面的几何参数不变，截面的中和轴或中面也认为不变，即保持原来的形状。 1.3.1.3平截面假定 平截面假定是伯努利-欧拉(Bernoulli -Euler)提出的，为理想弹性材料矩形截面梁纯弯曲后梁截面变形规律的假定。但是当材料进入塑性后梁无法维持平截面，这时应对平截面假定进行修正，通过伯努利-欧拉假定或修正后的伯努利-欧拉假定来确定梁中任意一点横向弯曲而引起的纵向位移。显然，伯努利-欧拉假定是一个极其理想的假定，但是在小变形条件下仍然是一个重要的假定，并且在其它受弯构件中，如板壳中也被引用。 1.3.1.4理想弹塑性材料假定 在固体和结构的分析中，假定其材料是连续的、匀质的，其弹性主轴是正交的。 对于一些理想弹塑性材料在受压或受拉状态下，材料的弹性模量、应力-应变关系是不相同的。受压或受拉状态下材料的弹性模量和应力-应变关系相同，是一种极其理想的假定。材料进入塑性后仍然假定体积不可压。 1.3.2遵循的基本原理 1.3.2