高二数学 上学期两条直线的位置关系例题（八）.docVIP

高二数学 上学期两条直线的位置关系例题（八） ［例1］求直线x－2y－1=0关于直线x+y－1=0对称的直线的方程. 选题意图：考查直线关于直线对称问题的解法. 解法1：由 得 ∴点(1，0)为两已知直线的交点. 设所求直线的斜率为k,由一条直线到一条直线角的公式得 故所求直线方程为y=2(x－1),即2x－y－2=0. 解法2：由解法1知两已知直线的交点为A(1，0).在直线x－2y－1=0上取一点B(0，－)，设点B关于直线x+y－1=0的对称点为C(x0，y0)，则 解得 ∴C点的坐标为(，1). 直线AC的方程为 2x－y－2=0. 即直线x－2y－1=0关于直线x+y－1=0对称的直线方程为2x－y－2=0. 说明：求直线l关于直线l1对称的直线方程，只要在l上取两点A、B，求A、B关于l1的对称点A′、B′，然后写出直线A′B′的方程即为所求. ［例2］求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y－7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 选题意图：考查截距式及分类讨论的思想. 解法1：由方程组 得 ∴两已知直线的交点为(－4,3). 当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等. ∴所求直线的方程为y=－x, 即3x+4y=0. 当所求直线不过原点时，设所求直线方程为x+y=a,因为点(－4，3)在直线x+y=a上， ∴－4+3=a,a=－1，故所求直线方程为x+y+1=0. 综上所述，所求直线方程为 3x+4y=0或x+y+1=0. 解法2：∵所求直线经过直线3x+2y+6=0和直线2x+5y－7=0的交点，所以可设所求直线的方程为 3x+2y+6+λ(2x+5y－7)=0(*) 在(*)式中，令x=0得y=, 令y=0得x=. 由题意得=.所以λ=或λ=.把λ=和λ=分别代入（*）式整理即得3x+4y=0和x+y+1=0. 说明：解法1设直线的截距式时注意了截距为0的情形.故而没有直接设成=1的形式，解法2中用到了过两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程： A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0. ［例3］已知两条直线l1:ax－by+4=0,l2:(a－1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a、b的值. (1)直线l1过点(－3,－1)，并且直线l1与直线l2垂直. (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等. 选题意图：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法. 解：(1)∵l1⊥l2,∴a(a+1)+(－b)·1＝0. a2－a－b=0① 又点(－3,－1)在l1上 ∴－3a+b+4=0② 由①②解得a=2,b=2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a. ∴l1的斜率也存在 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x+y+=0, l2：(a－1)x+y+=0. ∵原点到l1和l2的距离相等. ∴4｜｜＝｜｜，a=2,或a=. 因此或 说明：在(2)中由于l1∥l2，l2有斜率，从而得出l1有斜率即b≠0. 用心 爱心 专心