初中数学竞赛教程23、质数与合数.docVIP

2013年暑期初一数学竞赛第二十三讲：质数与合数 【知识要点】 1、一个大于1的正整数，若仅有1和这两个正约数，则叫做素数（也可以叫做质数），若还有其他的正约数，则叫做合数。 2、素数和合数有以下性质： （1）除2以外的所有偶数，都是合数；（2）2是唯一的偶素数，除2以外，所有素数都是奇数；（3）若素数，则必有或；（4）若正整数、的积是素数，则必有或。 3、算术基本定理（唯一分解定理）： 任一整数，可以分解成，其中是互不相等的素数，是正整数，则的正约数的个数为。 【例题精选】 例1、有四个数，一个是最小的奇素数，一个是偶素数，一个是小于30的最大素数， 另一个是大于70的最小素数，求它们的和。 变式、（2005年希望杯试题） （1）如果a是小于20的质数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？ （2）如果a是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？ 例2、若、都是素数，且，试求的值。 变式1、设、、都是质数，并且，，求． 变式2、若为素数，则仍为素数，则为（ ） A、素数 B、可为素数也可为合数 C、合数 D、既不是素数也不是合数 例3、有人说：“任何七个连续整数中一定有素数。”请你举一个例子，说明这句话是错误的。 变式、是否存在连续88个自然数都是合数？ 例4、证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和． 变式、设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数． 例5、整数240能被多少个不同的自然数整除？ 变式、（希望杯试题）若为整数，则使得方程的解也是整数的值有（ ） A、4个 B、8个 C、12个 D、16个 例6、41名运动员所穿运动衣号码是12，…，40，41这41个自然数问能否使这41名运动员站成一排使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数（2）能否让这41名运动员站成一圈使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数 若能办到请举例说明若不能办到请说明理由块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么 需块这样的地砖才能覆盖该块地，已知及地砖的边长都是整数，求的值。 【巩固拓展】 1、在2005，2007，2009这三个数中，质数有（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2、下面给出的数中，其值为素数的是（ ） A、 B、12345678987654321 C、1111119111111 D、 3、将1995表示为两个素数之和的方法的种数是（ ） A、1种 B、2种 C、3种 D、4种 4、三个不同的素数、、，满足，则的最小值是（ ） A、5 B、6 C、30 D、10 5、一个三角形的三条边长分别是、、 (、、都是质数)，且， 则这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、直角三角形或等腰三角形 6、若是正数，表示不超过的素数的个数，如，即表示不超过5.1的素数有2，3，5共3个，那么的值是（ ） A、12 B、11 C、10 D、9 7、已知是素数，是奇数，且，则 。 8、在锐角△ABC中，三个内角的度数都是素数，则△ABC是 三角形。 9、已知、、都是质数，且，那么满足以上条件的最小质数 ； 。 10、已知是素数，是奇数，且，则 。 11、已知质数、满足，则 。 12、若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为(是最大的质因数的序号)，则的值　　　　 。，，的乘积等于这三个质数的和的5倍，则= ． 14、在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个素数，个合数，个奇数，个偶数，则 。