分类例说利用导数证明函数不等式.pdfVIP

@ 考点聚焦 利用导数证明函数不等式这类问题，既有函数 的抽象性 、灵活性，又有导数运算及分析的工具性， ·z·一 时，，()取得最大值一，(蚩)一l+ 是考查数学素质的好题，能有效地考查学生的思维 品质和学习潜能，也是近几年高考的一个新亮点。 一n，所 以原不等式成立。 一 、 直接求导判断单调性并应用于解题 二、直接作差构函数 例 1 设幂函数_厂(z)一37(n≥2，n∈N )，记 例 2 求证 ：1一 ≤1n(z+1)≤ 。 (-工)一厂()+．厂(m—z)，32∈(0，m)，m0。(I) H 一 证明：令，()一In(x~1)+i 一1，厂(z)= 证明： ≤ (z) ；(U)对于任意的n，b，c∈ 厶 -：z+1一(士-4-1)0一(-4-1)2，’山∈(--1，’o)，’J／()＼o，’ l罟，警 l，问以g3(n)，g。(6)，g。(c)的值为长的三 xE(o，+o。)，／()0，．。．，(z)≥，(o)一0，即 1一 条线段是否可构成三角形?请说明理 由。 解 ：(I)证 明：。．。g()一，(z)+_厂(m—Iz)一 i ≤ln(+1)。同理可证 In(x+1)≤ 。 + (m—z) ，．。．g ( )一 z” 一 (m— )一 一 。 [ 一(m— ) ]。令 g ()一0，得 一 练-3：求证：sinxxtanx，∈(o，_芸_)。(答案 (m— ) 。 ． ∈(0，m)，根据幂函数的单调性，得 此略) 三、等价转化构造 -z—m—，即 号，当 ∈(o，詈)时，g(-z)o， 例3 设函数 f(x)一1一e一，证明：当x一1 (z)为减函数，当 ∈(詈，m)时，g()o， 时，f(x)≥南 。 (z)为增函数．()一g(号)一筹。 分析：当x一1时，要证 f(x)一1--ex≥ 51．g (z)在 x=O，—m处连续 ，且 g (0)一 一 1--南 ，即证e一≤1，即e≥x+1。 (m)一 ，故 ≤ (z) 。 证明：令g(x)一 一x一1，则g(x)=e一1知， · 。 g(x)在(～o。，O)上为减 函数 ，在 (0，+oo)上为增 函 ． g =e 一 当∈[号， 数，所以g(x)≥g(0)一0，即 ≥x+1，从而当x一 g3(z)≥0．()在z∈[号，]上为增函数，1时，f(x)≥南 。 ’ ()～ 一g3 m m3 四、分类讨论构造 ． ，gs(z) 一 ( )一 m 3 m 3 m 3 ／．／~3 例 4 已知函数 f(x)= +z(X--1)，证 十 m3 一 ． 恒成立 ，故 以g。(n)， 明：对任意的正整数n当x≥2时，有f(x)≤X--1 g3(6)，gs(f)的值为长的三条线段一定能构成-C