例谈与整数有关的数学竞赛题.pdfVIP

课程解读 ff~GJ 中学宝数理亿掌所版 例谈与整数有关的数学竞赛题 ■魏东成 ll 纵观伞 各地 的数学竞赛试题 ，与整数有关的试题是普 P()“f-l,ttA(—)和B(÷)的 [二二：] 遍 在的．而这类试题解 决起来 比较 困难 ，往住，需要将数学知 距离之和 ，如 同 1所示 ，由于 AB A P B 识进行综合并灵活地运用相关的数学概念 、性质、方法、技巧 一4，所 以，P只能是线段AB上的 闱 1 才能得 以解决．下面 以各地数学竞赛 中 现 的与整数有关 的 试题浅谈这类问题的思考途径及求解方法． ， 即一÷≤d≤÷，所以整数口一 3，～2， 1，0．本题答案 一 、 运 用因式分解 法 是 B． 例 I 两个正整数的和 比积小 1997，并且其中一个是完 四、数值特征分析法 全平方数 ，则较大数与较小数 的差是 ． 例 5 (江苏省第十七届数学竞赛试题) m为整数时， 解 ：设这两个正整数为a，b且 ＆6，则a+6+1997一ab， 关于 |，的方程 (2m一1)23一(2m+1)z+1—0是否有有理根? 所 以 n6一n一6+ 1— 1998． 如果有，求 出m 的值 ；如果没有 ，说明理由． 而 n6一n～b+1一 (“一1)(b 1)，则有 (n一1)(b一1)= 解 ：因为 m 为整数 ，故 2m一1≠0，由 △一 (2m4-1)。～ l998— 999×2— 333×3×2． 4m(Ⅲ一1)一4m(m一1)+5，而 (m—1)为 2的倍数 ，知必可 凶 n，b中一个是完全平方数 ，则n一1=3，6—1—666或 b 一 1— 3，a一 1：666． 表示为 8k+5(k一 为整数)的形式 ，即△为奇数．但 所 以n一4，b一667或 Ⅱ一667，b一4．因为 ab，所 以a= 奇数 的平 方 (2n+1)一4n(-41)+1—8k-4 1，应 为 8 +l的 667。b 4．因此较大数与较小数 的差为 663． 形式 ，所以△不是完全平方数． 例 2 (全 国初 中数学联赛)满足等式 +y ～ 五、运用分类讨论法 ,／N2oo~ 一~／2003+v,／~2o y一2003的正整数对 (，y)的 例 6 (全国初中数学竞赛天津赛区试题)已知函数 Y一 个数是( )．