也谈Weisenb(o)ck不等式的三维推广.pdf

20 中等数学 在非钝角三角形中有如下优美的半对称不等 当且仅当四面体为正四面体时等号成立． 式链： 式①也可变形为 噪≤凳≤等． 口“+b“+，+d、e“+厂≥2孚×3字曲． 当n=1，2，3，4，5，6时，由上式可得以下 参考文献： 几个不等式： 11]董林一个优美的半对称不等式[J]中等数学， n+6+c+d+e+，≥2{×3{一， 2ms(1) 也谈Weisenb6ck不等n3+b3+c3+d3+e3+，3≥36应V． 式的三维推广 Ⅱ4+b4+c4+d4+e4+，≥72扫一． 李永利 3{一． (河南省质量工程学校数理室，467000) 庞耀辉 以上6式当且仅当四面体为正四面体时 (甘肃省兰州窑街矿务局一中．730080) 等号成立．其中第二、三两式即为文[1]中的 两个不等式． Weisenb6ck不等式： 设n、b、c和S分别表示△ABC的三边命题2设四面体ABCD的6条棱长分 长和面积，则 别为Ⅱ、b、c、d、e、，，体积为V，c∈R且t≥ 2．则 n2+b2+c2≥443S． Ⅱ‘+b‘+，+dc+e‘+，≥21+{·x31+{t—t． 当且仅当n=b=c时等号成立． ② 文[1]将该不等式进行了三维推广，得到 证明：据文[1]引理2、命题I有 关于四面体的两个不等式．本文将对该不等 式作进一步的三维推广。得出关于四面体的 (生盟等型)÷ 更一般的结论． 引理设四面体的6条棱长之积为P， ≥(丛盟每型)5 体积为V，则 Pt72俨． ≥(华){=z圳1渺 当且仅当四面体为正四面体时等号成立”1． 命题1设四面体ABCD的6条棱长分 一+b‘+c‘+d‘+e‘+／ 别为n、b、c、d、“厂体积为y．则对任意自 ≥6(2{t×3{c一，) 然数n有 =2“{‘×3“{‘一‘． n“+b“+c4+d1+矿+，／6(72俨)昔． 即。i+b‘+，+矿+∥+，≥21+{r×31+{z—r． ① 当且仅当。=b=c…d e，时等号成立． 当且仅当四面体为正四面体时等号成立． 命题3设四面体的四个侧面面积为 证明：根据算术一几何平均值不等式和 s。、s：、岛、s。，体积为V．则 引理可得