3_1数学期望.pptVIP

* * 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量ξ的概率分布，那么ξ的全部概率特征也就知道了. x P(x) o x o 上页 下页 返回 结束 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 某型号电视机的平均寿命 18000小时±200小时 上页 下页 返回 结束 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 我们先介绍随机变量的数学期望. 在这些数字特征中，最常用的是 期望和方差 上页 下页 返回 结束 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均概念. 我们从离散型随机变量的数学期望开始. §3.1　数学期望 上页 下页 返回 结束 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数ξ是一个随机变量. 如何定义ξ的平均值呢？ 某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数ξ是一个随机变量. 如何定义ξ的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？ 我们来看第一个问题. 上页 下页 返回 结束 若统计100天, 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数ξ是一个随机变量. 如何定义ξ的平均值呢？ 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 ξ的平均值呢？ 上页 下页 返回 结束 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说,若统计n天, 上页 下页 返回 结束 这是以频率 为权的加权平均 由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数ξ 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为 这是以概率 为权的加权平均 这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量ξ的平均值 . 这样做是否合理呢？ 上页 下页 返回 结束 不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述: 2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 2 2 0 0 0 3 3 1 1 1 有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图. 规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验. 上页 下页 返回 结束 记ξ为所取出的球的号码(对应废品数) . ξ为随机变量，ξ的概率函数为 2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 上页 下页 返回 结束 对试验次数(即天数)n,及小张的生产情况进行统计，统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算 与 进行比较. 2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 上页 下页 返回 结束 则对ξ作一系列观察(试验)，所得ξ的试验值的平均值也是随机的. 由此引入离散型r.vξ的数学期望的定义如下: 对于一个随机变量，若它可能取的值是x1, x2, …, 相应的概率为 p1, p2, …, 但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近 上页 下页 返回 结束 定义3.1 设ξ是离散型随机变量，它的概率函数是: P(ξ=xk)=pk , k=1,2,… 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 如果 有限,定义ξ的数学期望 上页 下页 返回 结束