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抛物线的定义和标准方程 教学目标： 1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。 2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系； 3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点： 重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。 难点：抛物线的标准方程的推导。 教学过程： 一、复习提问： 1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？ （答：已知曲线，求方程的一般步骤如下： （1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ； （3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0; （4）把方程f (x,y)=0化简； （5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。 如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。） 2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹， 当e 1时是什么图形？（椭圆） 当e 1时是什么图形？（双曲线） 当e = 1时是什么图形？ 二、新课导入： 当e = 1时，它又是什么曲线呢？ 即：在平面内到一定点的距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹是什么图形？ 　 演示“拉线教具”：观察与定点F的距离等于到定直线l的距离的动点M的轨迹，画出的是适合条件的点M的集合P={M| |MF|=d}，这里d是动点M到定直线l 的距离。 画出的曲线叫抛物线。 （类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系） 三、新课讲授： （一）　定义： 　 平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。 概念理解： 平面内有—— (1) 一定点F——焦点 　　　　　　 (2) 一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线 　　　　　　 ***想：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？ 　　　　　 （是过F点与直线l 垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线） 　　　　　　 (3) 动点到定点的距离 |MF| 　　　　　　 (4) 动点到定直线的距离 d 　　　　　　 (5) | MF| = d 　　　　　 （6）动点M的轨迹——抛物线 （二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）： １、 要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？ ［建立适当的直角坐标系应遵循两点： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］ 过焦点F作准线l 的垂线交l 于点K，启发学生思考回答问题： （1）如何确定x轴（或y轴）？ 　 （以对称轴为坐标轴） 由抛物线的定义和KF是抛物线的对称轴。 （2）如何确定坐标原点？ （曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点） 因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l 的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。 （3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？ 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。 ２、开口向右的抛物线标准方程：（教师引导得出结论） ——将几何问题用代数方法表示 步骤 推导过程 引导及分析 (电脑给出提示或注意) １ 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标 建立直角坐标系 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。 焦点Ｆ即定点 准线l即定直线 直线l不过定点Ｆ 设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜= p（p0） 　 （p为焦参数） 那么，焦点Ｆ的坐标为（p / 2,0） 　　 准线l的方程为x = - p / 2. 根据已知给出曲线上特殊点的坐标和已知直线的方程 设抛物线上的任一点 Ｍ（x,y），点Ｍ到直线l 的距离为d ２ 写出曲线上的点M所要适合的条件 根据定义，抛物线就是集合 P={M| |MF|=d} ①动点Ｍ到定点Ｆ的距离 |MF| ②动点Ｍ到定直线l的距离 d ③平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离| MF| = d ３ 用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0 因为 d = | x + p / 2 | 所以 　　　　　　　　 = |