实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组.docVIP

项目五 矩阵运算与方程组求解 实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组 实验目的 学习利用Mathematica求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组. 基本命令 1. 求矩阵M的所有可能的k阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k]. 2. 把矩阵A化作行最简形的命令:RowReduce[A]. 3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入 Join[{{1,0,?1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}] 则输出 {{1,0,?1},{3,2,1},{1,5},{4,6}} 实验举例 求矩阵的秩 例2.1 (教材 例2.1) 设 求矩阵M的秩. 输入 Clear[M]; M={{3,2,?1,?3,?2},{2,?1,3,1,?3},{7,0,5,?1,?8}}; Minors[M,2] 则输出 {{?7,11,9,?5,5,?1,?8,8,9,11},{?14,22,18,?10,10,?2, ?16,16,18,22},{7,?11,?9,5,?5,1,8,?8,?9,?11}} 可见矩阵M有不为0的二阶子式. 再输入 Minors[M,3] 则输出 {{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}} 可见矩阵M的三阶子式都为0. 所以 例2.2 已知矩阵的秩等于2, 求常数t的值. 左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入 Clear[M]; M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}}; Minors[M,3] 输出为 {{35-7t,45-9t,-5+t}} 当时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2. 例2.3 (教材 例2.2) 求矩阵的行最简形及其秩. 输入 A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,?9,0},{?1,3,?16,?1},{2,?4,22,3}} MatrixForm[A] RowReduce[A]//MatrixForm 则输出矩阵A的行最简形 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3. 矩阵的初等行变换 命令RowfReduce[A]把矩阵A化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆. 例2.4 设求矩阵A的秩. 输入 Clear[A]; A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}}; RowReduce[A]//MatrixForm 输出为 因此A的秩为2. 例2.5 (教材 例2.3) 用初等变换法求矩阵的逆矩阵. 输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}} MatrixForm[A] Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm RowReduce[%]//MatrixForm Inverse[A]//MatrixForm 则输出矩阵A的逆矩阵为 向量组的秩 矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令RowReduce求向量组的秩. 例2.6 求向量组的秩. 将向量写作矩阵的行, 输入 Clear[A]; A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}}; RowReduce[A]//MatrixForm 则输出 这里有两个非零行, 矩阵的秩等于2. 因此, 它的行向量组的秩也等于2. 例2.7 (教材 例2.4) 向量组是否线性相关? 输入 Clear[A]; A={{1,1,2,3},{1,?1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; RowReduce[A]//MatrixForm 则输出 向量组包含四个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性相关. 例2.8 向量组是否线性相关? 输入 Clear[A]; A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}}; RowReduce[A]//MatrixForm 则输出 向量组包含三个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性无关. 向量组的极大无关组 例2.9 (教材 例2.5) 求向量组 的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示. 输入 Clear[A,B]; A={{1,?1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,?1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A]; RowReduce[B]//MatrixForm 则输出 在行最简形中有三个非零行, 因此向量组的秩等于3. 非零行的首元素位于第一、二、 四列,因此是向量组的一个极大无关组. 第三列的前