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由鱼洗联想到的共振现象 北京XX大学 人文社会科学学院摘 要 龙洗(角洗)是我国著名文物之一,它不仅有较高的艺术观赏胜,更具有深刻的科学价位,它是我国古代成功利用干摩擦激发耦合非线性振动的范例。本文着力分析和论证了鱼洗现象的数学和物理学原理。 关键词 鱼洗 共振 1 背景 鱼洗始现于汉代，距今已有 4000 年历史。喷水鱼洗的起源年代，现在还不能完全确定。但是迄今尚未见到有资料可以证明，在汉代或汉代以前已发现鱼洗的喷水现象。另一方面，在已发现的汉洗或周洗中，都没有两耳这一结构部件，这与后世的喷水鱼洗形制差异很大。当然，技术高超的人用手摩擦没有两耳的洗，也能使水面呈现规则水流，甚至喷出水花，但这毕竟是熟知鱼洗喷水现象以后的刻意钻研所致，在汉代或汉代以前，人们恐怕很难想到这一点。 汉洗，也有用鱼来做装饰的。北宋王黼（1079—1126）在《博古图》卷二十一就曾描述过汉代的一个双鱼洗，并对古人之所以用鱼做装饰做过解释，说：该洗“中饰以二鱼，笔画不繁缛而简古，真汉物也。且鱼与水相须之物，于是洗皆旌以鱼，又汉之姜诗尝有双鲤之祥，当时颇高其行，得非用为雅制耶？”可见，汉洗上刻饰以鱼，主要起装饰作用，与喷水功能没有关系。但是，后来喷水鱼洗上刻画的鱼首与摩擦两耳时所喷水柱吻合，这显然是古人熟知鱼洗的摩擦喷水现象并经过周密观察后的刻意所为，不再仅仅起装饰作用了。此类实物的出现，是古人发现鱼洗喷水现象的重要依据。顺便指出，这段文字为我们揭示了鱼洗为什么画鱼的古代哲理。[] 2 原理 物体在周期性外力作用下发生受迫振动，当外力频率与物体的固有频率一致时，物体不断吸收能量而引起共振。鱼洗喷水，咋一看，最容易与共振现象联系在一起。 鱼洗的物理原理可以分为三个过程来说明： 2.1 手搓双耳 这个能量输入过程是一个非线性自激振动过程。人手与双耳上表面接触处产生滑动摩擦力，而鱼洗下表面与桌面接触处可以认为无摩擦，人手的单方向运动会使双耳产生振动。该滑动摩擦力有时做正功，有时做负功，在一个振动周期内，所做的正负功相消可以维持双耳的振动。因此，该过程实质上是单向力激起双耳振动的过程。所以，用手掌摩擦双耳，应该是摩擦引起的自激振动。类似于敲击钟体或用琴弓拉弦的发声过程，外来驱动力虽无频率可言，但只要有能量输入，钟或琴就以其固有的振动模式振动而发声了。同理：外界通过摩擦双耳将能量输入鱼洗，就能激发洗体，以其固有频率振动；或从力的角度看，摩擦双耳造成洗与耳交接处材料的形变，洗壁为金属弹性材料，形变必然要恢复，恢复的方式是以鱼洗固有的频率振动。 2.2 驻波共振过程 两个双耳安置于盆内侧面的对称两侧，它们的振动可以耦合为整个盆体的驻波共振，这种驻波属于横驻波。所以，沿鱼洗侧壁的二维驻波是鱼洗喷水的原动力！一旦摩擦双耳激发起侧壁二维驻波的某些本征振型，鱼洗盆就会发出嗡鸣声，喷水的条件就已经具备。 将其简化为圆柱模型（如图2），可将圆柱壳的振动看作是无穷多个环形驻波沿竖直方向摞叠，只是不同高度上环形驻波的振幅不相同，从固定的底边开始逐渐增大，直至口沿下某一高度出现最大振幅，在口沿处，振幅又略有减小。 由于鱼洗是圆台状，最大振幅出现在自由口沿稍下的某一高度，该位置应当预示着鱼洗水线的位置，注水至该高度才能得到鱼洗喷水的最佳效果![] 表现中国古代人聪明才智的是，鱼洗中四条鱼的口须（又称喷水沟）总是刻在鱼洗基频振动（四节线）的波腹位置。 定量分析： 根据驻波条件, 盆的周长应等于波长的2倍。 其中a 为盆壁半径, 由此可算出波为： 查资料可得薄板中弯曲波的波速为： 可得鱼洗在固有模式下频率： 2.3 波腹振动激起水花过程 在波腹处，盆体振动最剧烈，该振动迅速传导至水面，水的振动动能不仅可能突破水的表面张力势能极限值，还有可能克服重力势能继续向更高处运动，这样就形成了喷射很高的水花，甚至可以达到约半米的高度。[] 3 共振的应用 3.1 洗衣机剧烈震动之谜 洗衣机脱水槽快速转动时洗衣机不会剧烈震动，但是当脱水槽转速变慢时洗衣机却会剧烈震动。这是因为洗衣机自然频率很低，当脱水槽快速转动时脱水槽转动频率远高于洗衣机自然频率，所以不会产生共振。当脱水槽转速变慢时，转动频率接近洗衣机自然频率，脱水槽便与洗衣机产生共振，使洗衣机剧烈震动。 　 3.2 挑水的节奏 我们用水筒挑水时也会观察到同样的现象。如果我们走路时振动的频率接近水筒中的水的自然振动频率就会产生共振使水筒中的水大幅度振动。 3.3 芬地大潮的成因 共振也会对潮汐造成影响。加拿大东岸的芬地海湾（Bay of Fundy）涨潮与退潮时的水位高度差可达到16.3公尺。这是因为海湾就像一个大浴缸。海湾的形状及海水的深度决定潮水的自然频率。Fundy海湾的潮水绕海湾一圈约12小时2