第十一讲 大数定理与正态分布.ppt

反之, 若设 r = 0, 则得 第十一讲 大数定理与正态分布 例11-3-1 设随机变量X 与Y 独立, 并且都服从正态分布 N (0, 1) , 求 的概率密度. 解 第十一讲 大数定理与正态分布 第十一讲 大数定理与正态分布 例题11-3-2（2007，4分） 四、正态变量的线性函数的分布 1.Y= a+bX 的分布 定理1 第十一讲 大数定理与正态分布 例题11-3-3（2003，数三，4分） 证 由于 是单调函数，且反函数为 推论 第十一讲 大数定理与正态分布 定理2 证 第十一讲 大数定理与正态分布 定理3 以上结论还可以推广到更一般的情况 第十一讲 大数定理与正态分布 第十一讲 大数定理与正态分布 正态分布需要关注和其它分布的不同点，除了分布函数与密度函数的形式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下： 例题11-4-1(1999,3分) 第十一讲 大数定理与正态分布 例题11-4-2（1998，6分） 第十一讲 大数定理与正态分布 五、中心极限定理 1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。 设随机变量之和为: 且数学期望和方差都存在： 设随机变量 相互独立, 则 则和的标准变量为： 2.中心极限定理变量的设定 第十一讲 大数定理与正态分布 * * covariance 协方差(相关矩): 相关系数： （1）相关系数的计算: (3)强相关定理 一、回顾：两个变量的相关特征 第十一讲 大数定理与正态分布 (4)不相关概念 由定义容易得到不相关的几个等价结论 第十一讲 大数定理与正态分布 10-2-1 将一枚硬币重复掷n次，X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于 解 选(A). (A) -1 (B) 0 (C) 0.5 (D) 1. （2001年） 例题10-2-2（2000，3分） 第十一讲 大数定理与正态分布 三、切比雪夫定理 1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？ 2.切比雪夫定理（不等式）： 第十一讲 大数定理与正态分布 第十一讲 大数定理与正态分布 第十一讲 大数定理与正态分布 例题10-3-1(2001，数一） 设独立随机变量 并且方差是一致有上界的，即存在某 则对于任何正数 ?，恒有 定理2（切比雪夫大数定理） 分别有数学期望 及方差 D(X1), 一常数K，使得 第十一讲 大数定理与正态分布 证 第十一讲 大数定理与正态分布 第十一讲 大数定理与正态分布 3.依概率收敛定义 推论： 存在: 设独立随机变量 服从同一分布,期望及方差 则对于任何正数 ?，有 第十一讲 大数定理与正态分布 在独立试验序列中,设事件 A 的概率P(A) = p， 定理3(伯努利定理） 按概率收敛于事件 A 的概率p.即对于任何正数 则事件 A在 n 次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数 ?, 有 证 设随机变量 Xi 表示事件A 在第 i 次试验中发生的次数(i=1,2, …,n, …), 则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布， 且有数学期望与方差： 由切比雪夫定理的推论即得 而 就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知 第十一讲 大数定理与正态分布 一、正态分布的密度与分布 1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。 2.正态分布的密度 第十一讲 大数定理与正态分布 记作 1.定义 其中? 及? ＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。 设连续型随机变量 X 的概率密度为 第十一讲 大数定理与正态分布 特别地，当 时，正态分布 叫做标准正态分布。 其概率密度为 2.正态分布 的密度曲线 若固定μ=0 第十一讲 大数定理与正态分布 第十一讲 大数定理与正态分