第三讲 图像变换.ppt

图像与图像变换 图像的表示 空间域 频率域 将图像看成是线性叠加系统 图像由像素组成，像素在图像空间中按某种规律排列的，图像在空间域上具有很强的相关性。 图像变换是将图像从空间域变换到其它域如频率域的数学变换 图像变换的目的在于： ①使图像处理问题简化； ②有利于图像特征提取； ③有助于从概念上增强对图像信息的理解。 图像变换概述 图像变换通常是一种二维正交变换。 一般要求正交变换： ①正交变换必须是可逆的； ②正变换和反变换的算法不能太复杂； 图像正交变换 ③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上。 借助于正交变换的特性可使得在空间域上的复杂计算转换到频率域后得到简化，更有利于获得图像的各种特性和进行特殊处理 线性系统 系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体，系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的函数 LTI系统的零输入响应和零状态响应 零输入响应：激励为零时，仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应yx(t)； 零状态响应：系统的初始状态为零时，仅有输入信号f(t)所引起的响应yf(t) LTI系统的完全响应为 y(t)= yx(t)+ yf(t) 单位冲激响应：LTI系统，系统的初始状态为零时，由输入单位冲激信号δ(t)所引起的单位冲激响应h(t)，它与零输入响应具有相同的函数形式 线性系统移不变性 线性系统移不变性的定义： 对于某线性系统，有 x (t)-y(t) 当输入信号沿时间轴平移T，有： x(t-T)-y(t-T) 则称该线性系统具有移不变性 二维线性位移不变系统 卷积定义 对于一个线性时不变系统的输入f(t)和输出y(t),其间必定存在关系： h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应 上式称之为卷积积分，两个函数的卷积运算是将一个函数反折平移后与另一个函数相乘，并计算积函数的积分 卷积过程 卷积过程 狄拉克函数 脉冲函数（） 狄拉克函数性质 1、偶函数 f(-x)=f(x) δ函数性质 位移性 δ函数（冲激函数）与卷积积分 卷积积分最简单的情况是函数之一是冲激函数 某函数与冲激函数的卷积就是其本身 点扩散函数 点扩散函数与二维线性位移不变系统 互相关函数 给定两个函数f(t)和g(t),它们的互相关函数定义为： 3.2 傅立叶变换 傅立叶级数：非正弦周期函数 傅立叶级数 进一步，对上式按三角公式变形可得： 傅立叶级数 三角函数系的正交性 即：sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…在区间[-π,π]上正交，就是指在三角函数系中任何两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零。 傅立叶级数 如周期函数可展成三角级数 傅立叶级数 狄利克雷（Dirichlet)条件 设f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足： （1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； （2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 则f(x)的傅立叶级数收敛，并且 当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)； 当x是f(x)的间断点时，级数收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)]. 傅立叶级数 一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数 一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x) 的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为： 傅立叶变换 傅立叶变换 傅立叶变换的目的 傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系，把空间域中的问题转换到频率域中求解。 求一个函数的傅立叶变换就是求它的频谱，即求它的各频率分量及分量所占的比重 通常称傅立叶变换前变量变化的空间为空间域，而称傅立叶变换后变量变化的空间为频率域 傅立叶变换 变换分析的直观说明 二维函数的傅立叶变换 二维函数的傅立叶变换可由一维推广，如果f(x,y)是连续和可积的，存在如下傅立叶变换对： 离散函数的傅立叶变换 假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0),f(x0+△x),…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。 一维离散函数的傅立叶变换 连续函数f(x)经离散采样后，形成一函数序列f(x)= f(x0+xΔx),仿照一维连续函数的傅立叶变换可以给出离散函数的傅立叶变换定义为右上式： 离散傅立叶变换的例子 二维离散函数的傅立叶变换 图像傅立叶变换例子 二维离散傅立叶变换的若干性质 离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。 1．