第4章_4非周期信号的频谱.ppt

二 奇异函数的傅里叶变换 对上式两边进行傅里叶变换，得 : ? ? ? ? 图 4.5-11 ? (t)及其频谱 0 ? ?? (?) R(?) X(?) 0 ? R(?) ?? (?) -1/ ? X(?) 0 ? -1/ ? 1/ 2 0 t 1 0 t 1/ 2 0 t -1/ 2 1/ 2 Sgn(t) 其频谱的实部和虚部分别为: 频谱的虚部是 的奇函数，在 处其值等于零。 附录五列出了常用信号的傅里叶变换。（470页） 时域无限宽，频带无限窄 时域无限窄，频带无限宽 * . 当周期 趋近于无限大时， 趋近于无穷小，取其 为 ，而 将趋近于 ， 是变量，当 时，它是离散值，当 趋近于无限小时，它 就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分。 由式 ， 可得 如何求频谱密度函数？ 改为 于是当 时，式 成为 （1）式称为函数 的傅里叶变换 （2）式称为函数 的傅里叶逆变换 称为 的频谱密度函数或频谱函数. 称为 的原函数。 简记为 ? 下面来看一下为什么称其为频谱密度函数？在讨论这个问题时要用到性质中的奇偶性，所以我们先来看一下频谱密度函数的实部，虚部，模，相角的奇偶性。 是 的偶函数。 是 的奇函数。 设： 下面就来看一下为什么称其为频谱密度函数？ 上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分 量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分 量”。由式可见， 相当于各 “分量”的振幅，它是无穷小量。 所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函 数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数 可看作是单位频率的振幅，称 为频谱密度函数。 傅立叶变换及逆变换 傅立叶变换 傅立叶逆变换 说明：函数 的傅立叶变换存在的充分条件是 在无限区间内 绝对可积，即： 例4.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为 ， 幅度为 。求其频谱函数 0 解： 如图所示的门函数可表示为 其频谱函数为 图 4.4-1 门函数及其频谱 0 0 实偶 实偶 一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 和相位 谱 两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱 函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。 为负代表相位为 为正代表相位为0, 由图可见，第一个零值的角频率为 （频率为 ) 当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。 对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 之间的频段为信号的频带宽度。 这样，门函数的带宽 ，脉冲宽度越窄， 其占有的频带越宽。 0 (时域越窄,频域越宽) 例4.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数. 0 t 图 4.4-2 单边指数函数 解: 将单边指数函数的表示式 代入到式 中得 这是一复函数,将它分为模和相角两部分： 幅度谱和相位谱分别为： 频谱图如下图所示： ? (?) ? 0 -? / 2 ? / 2 (b) 相位频谱 图 4.4-3 单边指数函数 ? 0 1/? (a) 振幅频谱 例 4.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。 e?t 1 0 t f1 (t) e-?t 解：上图所示的信号可表示为： 或者写为 将 代入到式 ， 可得其频谱函数为： 其频谱图如下所示 ： F1(j?) ? 0 2/? 实偶 实偶 e?t 1 0 t f1 (t) e-?t 例4.4-4 求下图所示信号的频谱函数。 -e?t 1 0 t f2 (t) e-?t -1 解: 上图所示的信号可写为 ： （其中 ) -e?t 1 0 t f2 (t) e-?t -1 其频谱图如下