第3节 抽样定理.pptVIP

那么这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？换句话说，是否可以由这些抽样值恢复一个连续的原函数？就是一个必须回答的问题。 研究信息论的先驱惠特克-香农指出，对于带限函数，答案是肯定的。它涉及的数学基础是惠特克-香农发表的用插值理论展开函数的方法。这一节讨论的就是惠特克-香农抽样定理的二维形式。 首先建立对连续变化的物理量进行抽样的数学模型。最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘。如果被抽样函数为g (x,y)，抽样函数gs(x,y)可表示为 2.3.2 原函数的复原 原函数的复原首先要恢复其频谱。在满足抽样间隔的情况下，只要用宽度分别为2Bx和2By的位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱Gs(fx，fy)，就可得到原来函数的频谱。在频域中进行的这种操作去掉了部分频谱成分，常常称做“滤波”。进而对原函数频谱做付里叶逆变换，就可得到原函数。按照这个思路，来计算用抽样函数值表示的原函数。 严格来说，频带有限的函数在物理上并不存在。任何在空域上分布在有限范围内的信号（函数）的频谱在频域的公布都是无限的。但是这些函数的频谱随着频率提高，到一定程度后会大大减小。实际应用时，可以把它们近似看做限带函数，而忽略高频分量引起的误差。 * 2.3.1 函数的抽样 式中二维梳状函数comb(x/X)comb(y/Y): 梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无理数分布在x-y平面上在x、y两方向上间距为X和Y的△ 函数与该函数的乘积。任何函数与△ 函数相乘的结果仍然是△函数，只是△函数的“大小”被该函数在△ 函数位置上的函数值所调制。利用卷积定理和梳状函数的付里叶变换，可计算抽样函数的频谱如下： 二维梳状函数comb(x/X)comb(y/Y) 与g(x,y)相乘就是无理数分布在x-y平面上在x、y两方向上间距为X和Y的 函数与该函数的乘积。任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数的“大小”被该函数在 函数位置上的函数值所调制。利用卷积定理和梳状函数的付里叶变换，可计算抽样函数的频谱如下： 这一结果说明空域上对函数g的抽样导致函数频谱G周期性复现在谱面上以 点为中心的位置上。 若函数g(x,y)是限带函数，即它的频谱仅在谱面上一个有限的区域内不为零，若包围该区域的最小矩形在fx和fy方向上的宽度分别为2Bx和2By ,则欲使Gs(fx,fy)中周期复现的函数不会相互混叠，必须使: X是空间域的量，它的倒数1/X为频域量，Bx，By为频域量. 看频域: 函数频谱 以上是空域的情况. 物理意思是:任何函数与?函数相乘的结果仍是?函数 或者说抽样间隔必须满足: 这时就可以用滤波的方法，从抽样函数的频谱Gs (fx,fy)抽取出原函数的频谱G(fx,fy)，再由G(fx,fy)恢复原函数. 最大抽样间隔 , 称奈奎斯特(Nyquist)抽样间隔。 x y x y 0 1/x 1/y 0 fx fy fx fy G(fxfy) G(fxfy) 抽样函数 原函数频谱 抽样函数频谱 用频域中宽度为2Bx和2By的位于原点的矩形函数作为滤波函数 抽样函数gs(x,y) 被抽样函数g (x,y) 滤波函数: 从频域看 滤波过程可写作 原函数复原 根据卷积定理，在空域中得到 式中 至此，用抽样函数值表示的原函数计算出来了。有趣的是在这个表达式中出现了sinc函数，对初学者有些意外，这是因为选取矩形函数为滤波函数造成的，另外的滤波函数会产其他插值函数。 抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式。抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值总是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现。一个连续的限带函数可以由其离散的抽样系列代替，而不丢失任何信息。下图用一维函数的有关图像表明了抽样函数和还原的过程及其在频域中发生的相应变化。 x 0 BX -BX g(x) comb(x/X) x x x gs(x) 0 0 x 2x -x -2x 0 x 2x -x -2x x 2Bxsinc(2Bxx) 2Bx 0 1/2Bx -1/2Bx Gs(fx) fx fx fx fx G (fx) rect(fx/2Bx) 1/x Xcomb(Xfx) 0 G(fx) fx 0 BX -BX 0 BX -BX … … … … 0 BX -BX 1/x -1/x -1/x ×