第2章_信号分析基础.ppt

从数学定义看，数学期望就是随机变量的取值依概率加权，这实际就是求平均值的思想。因此，数学期望表示了过程在各个时刻随机变量取值分布的中心，或其n个样本函数曲线的摆动中心，如图2.13所示。对随机信号(一般是平稳过程)而言，数学期望就是其直流分量。 （2-56） 对离散型随机变量，则有 图2.13 数学期望的含义 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 随机过程的数学期望具有如下性质： ① 常数的数学期望为该常数： ② 两个随机变量之和的数学期望： ③ 两个独立随机变量之积的数学期望： ④ ⑤ 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 随机过程的方差定义为随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望，即 （2）方差 （2-57） （2-58） 对平稳过程来说，方差也与时间t无关，有 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 可见，方差表示了随机过程在时刻t对于均值 对离散型随机变量，则有 （2-59） 的偏离程度。对随机信号(一般是平稳过程)而 言，方差就是其交流功率。 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 随机过程的方差具有如下性质： ① 常数的方差为0： ② 常数加随机变量的方差： ③ 常数乘随机变量的方差： ④ 两个独立随机变量之和(或差)的方差： 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 式(2-60)中，方差 代表随机信号的交流功率， 代表其直流功率，均方值 就是随机信号的平均功率。 ⑤ 方差与数学期望的关系： （2-60） 该式证明如下： 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 数学期望和方差都只取决于一维概率密度函数，因此称为一维数字特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的关联程度， 还需利用二维数字特征——相关函数和协方差函数。 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 图2.14 数学期望和方差相同的两个随机过程 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 （3）相关函数和协方差函数 先来看一个例子。如图2.14所示， 、 为数学期望和方差大致相同的两个随机过程，但信号结构却有着明显的差别： 的样本随时间变化较慢，不同瞬间(例如t1和t2)取值有较强的相关性； 的样本变化较快，不同瞬间的取值之间相关性较弱。因此，数学期望和方差只描述了随机过程在单独一个瞬间的特征，它们并没有反映随机过程在不同瞬间的内在联系。为了衡量随机过 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 任意给定两个时刻 、 ，均值分别为 、 的随机变量 、 就构成一个二维随机变量 ，其概率密度函数记为 。 程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联或 依赖程度，为此引入相关函数R(t1, t2)和协方差 函数B(t1, t2)。 和 的相关函数和协方差函数分别定义为 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 （2-61） （2-62） （2-63） 经推导，相关函数和协方差函数二者之间满足如 下关系: 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若 t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+τ)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及时间间隔τ，即相关函数是t1和τ的函数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 对于两个或多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设 和 分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为 （2-65） （2-64） 而互相关函数定义为 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 通常用统计独立、不相关、正交等概念来描述二维随机变量 的重要关系。所谓统计独立，是指二维概率密度函数 和一维概率密度函数 、 之间满足 （2-66） （2-65） （2-67） 且 或 显然，正交比不相关更严格。 与 正交是指相关函数与协方差满足 与 不相关是指相关函数或协方差满足 第2章 信号分析基础 清华大学出版社 【例