高等数学第一张第八节.pptVIP

* 高 等 数 学 中国民航大学理学院 陶志 E-mail:163.com 第九节 函数的连续与间断 函数的增量 设函数 在 内有定义, 称为自变量相对于点 的增量. 称为函数 相对于 的 增量. 连续的定义 定义1 如果当 设函数 在 内有定义, 一、函数的连续性 自变量的增量 趋向于零时, 对应的函数的增量 也趋向于零, 即 或 那么就称函数 在点 处连续, 称为 的连续点. 定义2 设函数 在 内有定义, 如果 当 时的极限存在, 且等于它在点 处的函数值 即 那么就称函数 在点 处连续. 定义3 设函数 在 内有定义, 若 使当 时, 恒有 那么就称函数 在点 处连续. 例 1 试证函数 在 处连续. 证 又 由定义2知， 函数 在 处连续. 例 2 是定义于 上的单调增加函数， 若 存在， 证 设 由于 单调增加， 则 当 时， 当 时， 由此可见， 即 证明 在 连续. 因此 在 连续. 二、左右连续 若函数 在 内有定义, 且 则称 在点 处左连续; 若函数 在 内有定义, 且 则称 在点 处右连续. 定理 函数 在 处连续的充要条件是 函数 在 处既左连续又右连续. 例 3 讨论函数 在 和 处的连续性. 解 如图所示， 因为 故 在 处不连续. 在 处： 所以 但是 因为 所以 不存在， 在 处不连续. 例 4 已知函数 在点 处连续， 求 的值. 解 因为 点 处连续， 则 即 三、连续函数与连续区间 在区间内每一点都连续的函数, 叫做在该区间内 的连续函数, 或者说函数在该区间内连续. 如果函数在开区间 内连续, 并且在左端点 处右连续, 在右端点 处左连续, 则称 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 函数 在闭区间 ] , [ b a 上连续. , 例 5 证 即函数 对任意 都是连续的. 证明函数 在区间 内连续. 当 时， 四、函数的间断点 函数 在点 处连续必须满足的三个条件: 在点 处有定义; 存在; 若上述三个条件中有一个不满足, 则称函数 在点 处不连续(或间断), 并称点 为不连续点 (或间断点). 第一类间断点 设点 为 的间断点. 但左极限 及右极限 都存在, 则称 为 的第一类间断点. 当 时, 间断点. 当 定义, 则称点 为 的可去间断点. 称为 的跳跃 或 在点 处无 第二类间断点 如果 在点 处的左、右极 限至少有一个不存在, 则称点 为函数 的 第二类间断点. 常见的第二类间断点有 无穷间断点 (例 ) (在 的过 程中, 无限振 荡，极限不存在). 振荡间断点 和 例 6 处的连续性. 解 讨论函数 在 为函数的跳跃间断点. 例 7(1) 处的连续性. 解 讨论函数 在 为函数的第二类间断点(无穷间断点). 例 7(2) 的连续性. 解 讨论函数 在 处没有定义， 且 不存在. 为第二类间断点. 这种情况称为 的振荡间断点. 在 处 例 8 取何值时， 在 处连续. 解 要使 必须 故当且仅当 时， 函数 处连续. 在 注： 一个函数的间断点也可能有无穷多个. 例如， 狄利克雷函数 在定义域 内每一点处都间断， 且都是第二类 间断点. *