高等代数课程教学课件第7章_线性变换.pdfVIP

第七章 线性变换 第七章 线性变换 §7.1 线性变换的定义 §7.1 线性变换的定义 一、线性变换的定义 一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质 二、线性变换的简单性质 引言 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射 线性变换. 一、 线性变换的定义 一、 线性变换的定义 定义 定义 设V为数域P上的线性空间，若变换 σ : V →V 满足： ∀α,β ∈V, k ∈P σ α +β σ α =+σ β σ kα kσ α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ 则称 为线性空间V上的线性变换. 注：几个特殊线性变换 注： E : V →V , αa α, ∀α∈V 单位变换(恒等变换)： 零变换：0 : V →V, αa 0, ∀α∈V K :V →V , αa kα, ∀α∈V 由数k决定的数乘变换： 事实上，∀α,β ∈V, ∀m ∈P , K α+β k (α=+β) kα=+k β K α =+K β , ( ) ( ) ( ) K mα kmα mkα mK α . ( ) ( ) 例1. V R2 (实数域上二维向量空间) ，把V 中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换， θ ′ 用T 表示，即 2 2 x x θ : → , a T R R θ ( ) ( )′ y y x ′ cosθ −sinθ x 这里，( ) (′ )( ) y sinθ cosθ y ∀α,β ∈R 2 , ∀k ∈R 易验证： T α+β T α =+T β ( ) ( ) ( ) θ θ θ T kα kT α θ ( ) θ ( ) 3 例2 ． V R , α=∈V 为一固定非零向量，把V 中每