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第十三章 动能定理 13-1 圆盘的半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3 kg，mB=2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按的规律变化（M以N·m计，以rad计）。求到时，力偶M与物块A，B的重力所做的功之总和。 13-2 图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为，车轮视为均质盘，半径为Ｒ，两车轮轴间距离为．设坦克前进速度为，计算此质点系的动能。 解： 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度 ；两车轮的动能为 再研究坦克履带，AB部分动能为零， CD部分为平动，其速度为2v ；圆弧 AD与BC部分和起来可视为一平面 运动圆环，环心速度为v ，角速度为 ， 则履带的动能为 此质点系的动能为 13-3题 解：为运动的瞬心，以为动点，动系与平板固结 则： 且： 故： 则该系统的动能为： 13-4均质连杆AB质量为4kg，长l=600mm。均质圆盘质量为6kg，半径r=100mm。弹簧刚度为k=2 N/mm，不计套筒A及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当AB达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。  13-5如图所示，质量为m的滚子A沿倾角为的斜面向下只滚不滑，并借助于跨过滑轮B的绳提升质量亦为的物体C，同时质量为m的均质滑轮B绕O轴转动，滚子A和滑轮B的半径相等，求物块C的速度和加速度。 解：设滚子质心下滑距离S时，质心的速度为 以整体为研究对象，设滚子半径为R，初始动能为=常量 该系统的动能为 将代入，得 由动能定理得， 将上式两边对时间求导得 以为研究对象 联立（1）和（3）得： 13-6 均质OA杆可绕水平轴O转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA长l，质量为m1；圆盘半径为R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。 解：对于圆盘有 即有： 而初始圆盘静止，故圆盘平动。 13-7题 解：（1）当软绳被剪断之后，方板做平行移动，且剪断瞬间速度为零 由平面运动方程 （点只有方向的加速度） 解得：，， （2） 由动能定理得： 因和在铅直位置时，板无水平方向的力， 故板无水平方向的加速度 且，故 由质心运动定理： 解得： 13-8 三个均质轮、、，具有相同的质量和相同的半径，绳重不计，系统从静止释放。设轮作纯滚动，绳的倾斜段与斜面平行。试求在重力作用下，质量亦为的物体下落时的速度和加速度。 解： (2)以为研究对象 （1） （2） 其中：，， 以为研究对象 (3) 联立（1）、（2）、（3）得： 13-9题 解：（a） 其中： 由得： 解得： （b）板作平面运动，而，则质心将铅直下落，当板处于水平位置时，为瞬心（如图所示）： ： 其中： 由得： 解得： 13-10 图示均质杆长为2l，质量为m，初始时位于水平位置。如A端脱落，杆可绕通过B端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B端脱落后的角速度及其质心的轨迹。 解：（一）B脱落前瞬时 B脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。 （二）B脱落后瞬时 B脱落后杆质心作抛体运动 （1） （2） 式（1）、（2）消去t，得 即： 此即所求脱落后质心的运动轨迹。 图13-2 D C R A B C B O A 图13-3 图13-1 图13-6 图13-8 A