数学物理方程_6.7.8章课后部分习题答案_李明奇主编_电子科技大学出版社.docVIP

数学物理方程第三次作业 习题6.2 1.求解。 解：这是Laplace方程的Robin问题，直接调用公式，得 习题6.4 1.试证Green函数在半径为R的球形区域V和界面S上，且满足： （1） （2） 证明：(1)由格林函数定义：其中：。由于在边界S上有：，所以，由极值原理在整个上。所以 下面证明：，一方面：以为圆心在中作球，球面设为。 则。 。 由极值原理：。 另一方面，容易知道：对任意的, 在中的点，函数不能为零。 所以，。得证：。 证明：(2) ，其中是调和函数，所以。得证。 习题6.5 1.求区域上的Green函数：(1)上半圆域；(2)上半球域。 解：(1)镜像法。由于是上半圆域，所以参考圆域上的Green函数，可得，需要四个电荷，分别为；；；，。所以将四个电荷的电势累加得： (2) 同样参考球形域上的格林函数求法。需要四个电荷，分别为；；；，。所以将四个电荷的电势累加得： 3.在半平面内求解Laplace方程的边值问题，其边界条件为 解：这是上半平面Laplace方程Dirichlet问题，直接调用公式，得： 习题6.6 2.验证函数满足二维Poisson方程：。 证明：满足方程。 则： 得证。 习题7.1 2.求证。 证明：因为 ， 其中 则 得证。 3.求证，其中 证明：，不难看出是一个奇函数，所以。 得证。 4.求证是的解。 证明：由于满足方程 将带入方程中 ， 再令，化简，得： 所以得证。 习题7.2 1.证明：(1) 证明：由于是偶函数，则。同时是奇函数，则。 再由母函数，令，得： 。 得证。 3.试证：，并计算(1) (2) 。 解：证明： (1) (2) 4.计算积分：。 解： 习题7.3 4.设是的正零点，证明： 证明： 所以由Bessel函数的正交性，可得 若，则方程等于零。 若，则。 所以得证。 习题8.1 1.证明：，，，。 证明：(1)：直接验证知，当时，结论成立。 那么设，。由Rodrigues公式： 若，上式等号右侧第二项等于零。而右侧第一项可以表示为。则可得。 所以得证。 (2)同样的道理，可以证明。 (3) 所以，。 (4) 所以 3.证明： 证明：由Rodrigues公式：。 。 也可以直接使用Legendre多项式的正交性证明。 5.证明当且为整数是， 证明：由Rodrigues公式：。 得证。 习题8.2 1.用Legendre多项式的母函数证明： 证明：由母函数。 令，则 ，由于，所以。 令，则 ，由于，所以。 得证。 3.求证：(2) 证明：首先，对展开式的两端先后关于，求导，得 则。此式两端关于的同幂次项的系数应相等，于是当时，有。 得证。 4.利用递推公式计算。 解：由递推公式，有 ，所以 。 再用正交归一化关系得： 习题8.3 4.验证满足Legendre方程。 证明：要证明满足。 因为 ， 所以 。 考虑到的表达式中含有对求阶导数，所以中应含有对求阶导数，所以对上式两端对求阶导数，即：。 再利用求乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，化简可得： 继续化简，得： 等式两侧同时乘上常系数，即可得 即得证满足。 5.将下列函数展开成Legendre多项式级数： (2) 解：将展开成勒让德多项式的级数，其中。将用Rodrigues公式带入，然后用分部积分法求出右端积分。当及时，被积函数分别为及，可以直接积分，得：，。 当时，可得。 因为，对它求阶导数，所以求完导数后所得的每一项都会含有的因子，即。只需计算的值。则可得，，…。 所以 注：这不是标准答案，这是老师布置的作业。自己做的，仅供参考。一共三次作业，这是最后一次的。 Email：369780081@163.com