两随机变量独立性与不相关性间的关系.pdfVIP

第 12 卷第 2 期 柳　州　师　专　学　报 V o l. 12 N o. 2 1997 年 6 月　 　　 　　　Jou rn a l o f L iuzhou T each er s Co llege　　　　 　　　 　J un e 1997 两随机变量独立性与不相关性间的关系 钟 镇 权 　　摘　要　本文证明了由两随机变量的独立性可推出它们的不相关性, 但逆命题不 成立。并给出了两随机变量独立性与不相关性等价的两个特例。 关键词　相互独立　相关系数　不相关 定义 1　 设 ( ) ( ) ( ) ( , F , P ) 个随机变量, 若对任意 w , w , …, w 为定义在概率空间 上的n 1 2 n n 个一维波雷尔点集B 1 ,B 2 , …,B n , 有 P ( ∈B , ∈B , …, ∈B ) = P ( ∈B ) P ( ∈B ) …P ( ∈B ) , 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n 则称随机变量 ( ) ( ) ( ) w , w , …, w 相互独立. 1 2 n ( ) C ov , 定义 2　 若随机变量 与 的相关系数 r = = 0, 则称 与 不相关. D D 关系 1　 若随机变量 与 独立, 则 与 不相关, 只要相关系数存在. ) ( ) ( ) 证明　1 当随机变量 与 为连续型随机变量时, 设 , 的联合密度为p x , y , 与 的密 度函数分别为p (x ) 与p (y ) , 则由 与 独立可得 p (x , y ) = p (x ) p (y ) , ∞ ∞ ∞ ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) 因此 　E = x y p , y x dy = x y p x dy ∫∫ x d ∫∫ x p y d - ∞ - ∞ - ∞ - ∞ ∞ ∞ = x p (x )