2.5随机变量函数的分布.pptVIP

* * 1.5 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 例1 设随机变量X的概率分布为 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15 P -2 -1 0 1 2 3 X 求 Z=X2 若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得. 一 、离散型随机变量函数的分布 解 将X所有可能的取值一一代入函数 Z的概率分布为 0.20 0.40 0.25 0.15 P 0 1 4 9 Z=X2 例1 设随机变量X的概率分布为 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15 P -2 -1 0 1 2 3 X 求Z=X2的分布律 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15 P -2 -1 0 1 2 3 X Z 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值 如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 p1 p2 … pi … P y1 y2 … yi … Y 如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在 则在Y的分布列中，取的概率为 使 计算离散型随机变量函数的分布的方法： 定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ，（－∞x +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随机变量，且密度函数为 1. 公式法 二 、连续型随机变量函数的分布 例2 设X具有密度函数f(x)，求线性函数Y＝k1X＋k2 的密度函数（k1，k2是常数且k1≠0）. y = g(x)处处可 导，严格单调， 其反函数 x = h(y ) 分析 y = g(x) ＝k1x＋k2 处处可导，严格单调 其反函数 x = h(y ) 例2 设X具有密度函数f(x)，求线性函数Y＝k1X＋k2 的密度函数（k1，k2是常数且k1≠0）. 其反函数 x = h(y ) y = g(x)处处可 导，严格单调， 其反函数 x = h(y ) 注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] 上有 定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ，（－∞x +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随机变量，且密度函数为 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F ?(y) 求出 fY (y) 2.分布函数法 二 、连续型随机变量函数的分布 例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分 布, 求圆片面积的概率密度. 解 设圆片直径的测量值为 面积为 则有 按已知条件, 的概率密度为 对于函数 当 时, 例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分 布, 求圆片面积的概率分布密度. 解 对于函数 当 时, 例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分 布, 求圆片面积的概率分布密度. 解 对于函数 当 时, 于是 当 时, 例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均