毕业设计（论文）-关于凸函数的研究.docVIP

关于凸函数的研究 作者： 指导老师： 摘要 本文从凸函数的多种定义入手介绍了凹凸函数的性质及判定定理在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的，判定方法及其应用将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出元凹凸函数的定义判定方法本文主要讨论了一元二元多元凹凸函数的定义性质及判定方法，并介绍了它们应用,, (0,1)，有 （2.1.1） 则称为上的凸函数.反之，如果总有 （2.1.2） 则称为上的凹函数. 若式（2.1.1），（2.1.2）中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 2.2 凸函数的等价定义 凸函数除了上述定义之外还有多种不同定义形式，这些定义之间是相互等价的.常见的凸函数定义还有： 定义2.2 设为定义在区间上的函数，那么为上的凸函数当且仅当对任意两点,,有 . 定义2.3 设为定义在区间上的函数，那么为上的凸函数当且仅当对，有 . 3 凸函数的性质 在熟知了凸函数的定义之后，这一节主要讨论凸函数的一些常用简单性质. 性质3.1 设在区间上为凸函数，对任意，则 时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数. 证明 由于为上的凸函数，则对有 . 从而 当时 . 即 在区间上为凸函数. 同理，可证当时，在区间上为凹函数. 证毕. 性质3.2 设均为区间上的凸函数，则其和也是上的凸函数. 证明 记，,由于均为凸函数，故有 故 为上的凸函数，即也是上的凸函数. 证毕. 由性质3.1和性质3.2可得到下面的推论. 推论3.1设是区间上的凸函数，则线性组合的函数 为上的凸函数，为上的凹函数. 性质3.3 若为区上的凸函数，为上凸增函数，则为上凸函数. 证明 对由于为上的凸函数，故 . 又由 . 得 . 故当为上的凸增函数时有 由此知为上的凸函数. 证毕. 性质3.4 若设是间上的凸函数，则也为上的凸函数. 证明 令，由凸函数定义，设 有 从而 因此为上凸函数. 证毕. 性质3.5设为区间上的凹函数，，则为区间上的凸函数，反之不成立. 证明 因为且为凹函数,故 对有 . 所以 . 由于 . 从而 . 即 为区间上的凸函数. 证毕. 4 凸函数的判定定理 利用凸函数的定义判断函数在区间上是否为凸函数往往并不方便.因此，下面给出一些凸函数的判定定理. 引理 若 在区间上成为凸函数，则对上任意三点,有 . 推论 4.1 若在区间上为凸函数，则对上任意四点，有 . 推论4.2 若在区间上的凸函数，则过的弦的斜率 是的增函数（若为严格凸的,则严格增）在区间内为凸函数,则在任意一闭子区间上满足条件:即＞,对有 . 证明 因则＞,使得,, 若＜,取,在区间内为凸函数,由引理知 . 其中分别为在上的上下界,从而 . 若＞,取,因在区间内为凸函数,由引理知 . 即 . 因此 . 取,则有 . 证毕. 推论 4.4 若函数在区间内是凸函数,那么在内处处左右可导,同时满足对任意的有 . 证明 若函数在区间内是凸函数,则对 由推论4.2知在内为递增函数,且当时 . 所以存在. 再因 . 所以由单调有界定理可知存在且 . 同样也可证时有 . 所以存在.由,的任意性知在内处处可导. 再因,若,且,取且,, 那么 . 即 . 令则 . 同理可证 . 所以 . 证毕. 例4.1 为区间上的凸函数，试证对任意,对任意有. 证明 已知为区间上的凸函数，则由推论4.2与推论4.4可知 对任，存在，且单调增加. 故对当时有 . 同理，当时，当时有 ， 因为 , 故对 . 对总有