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第 20 讲 第 20 讲. 论证不能想当然 微积分的基本概念“连续”，“可导”，都是逐点定义的，微局部意义的。 一元微分学讨论问题最讲究条件分析，目的在于夯实基础。定义是最基本的游戏规则。 要揣测摩其微局部意义，尽可能深入理解定义，按定义思考，用定义推理。切记不能想当然。 较简单而又较深刻的一个题目含于第 9 讲例 46，值得重复一下. 问题 1 下两命题”谁是谁非？ （A ）函数f （x ）在任意区间（0，b ）连续，则f （x ）在（0，+∞）连续。 （B ）函数f （x ）在任意区间（0，b ）有界，则f （x ）在（0，+∞）有界。 分 析 连续是逐点定义的。“每点连续，区间连续。区间连续则逐点连续。” 要证 f （x ）在（0，+∞）连续，必须且只需证明，在其内任取一点，f （x ）连续。 在（0，+∞）内任取一点x 0 ，它必在某个区间（0，b ）内。（A ）对。 “有界”的背景是区间。不是微局部意义的概念。 虽然函数f （x ）在任意区间（0，b ）有界，但对于不同的b ，相应的“界”可以不同。 显然，随着 b 的增大，“界”可能会越来越大。（决不会减小。）“问题连无穷，主动想极限。” 这就生成一个新的数列极限问题。有可能没有极限，是无穷大。 例 199 已知函数 f （x ）在 x ≥b 时连续，且当 x → +∞ 时f （x ）有极限 A ，试证 明此函数有界。 分析 用综合法走一步：本题即证，∣f （x ）∣≤ C 大家只学过 ，“闭区间上连续的函数一定有界。” 随便选一个充分大的数 x 0 ， 函数 在有限（长）的 [b ，x 0]上有界。在那无穷的尾巴上，怎么估计函数的绝对值呢？ 已知条件表明，需要从数值上体念极限。（高级动作！） x → +∞ 时函数有极限 A ，即 x → +∞ 时，函数的绝对值无限靠近数 A 的绝对值。 这就是说，我们可以取到充分大的数x ，使x ＞x 时 ，恒有 ∣f （x ）∣≤∣A∣ + 1 0 0 （潜台词：没什么理论！只需捉摸，体验“无限靠近”。） 在闭区间 [b ，x 0] 上函数有最大值M ，最小值m ，三个正数，∣A∣ + 1，∣M ∣，∣ m ∣中，最大的那个就是我们需要的C （画外音：啊，我们“构造”出了函数的一个上界。 分析法，综合法，反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前 400 年就有了。老老实实地 写，实实在在地说，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——“构造法”。） 问题2 函数f （x ）在定义域上连续，那它就一定没有间断点。对吗？ 分 析 错。《高等数学》限定函数的定义域为区间或区间的并。函数f （x ）在定义域 上连续，则函数在每个定义区间上连续。即在定义区间的每一个点连续。 但是，按照连续的定义，孤立的无定义点是函数的间断点。 （潜台词：连续的定义，第一句话是，“f （x ）在点x 0 的邻近有定义。”） 1 1 这样一来，比如y ，它在定义域，即区间（－∞，0）与（0 ，+∞）上连续，但它 x 有间断点 0，且是第二类间断。无穷间断。 （画外音：注意问题的提法。你可不能随口说成，“连续函数也有间断点”啊。 问题3 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数，其复合函数就一定间断吗？ 分 析 有间断点的函数的复合函数不一定间断。 复合函数 f （φ （x ））只在 f （u ）的定义域与 u = φ （x ）的交集（区间）I 上有定义。 如果u = φ （x ）有间断点x