第三章 连续型随机变量 2.pptVIP

函数 称为连续型随机变量X的概率密度函数(简称概率密度)或概率分布密度(简称分布密度). 概率密度 具有下列性质 概率为0的件并不一定是不可能事件. 例1. 下面两个函数是否连续型随机变量的分布密度函数,为什么? 例2. 已知 是否连续型随机变量X的分布函数. 例3. 设连续型随机变量X的密度函数为 求 (1)系数A. (2)X在区间 取值的概率. 所以 例4. 设随机变量X的概率密度为 且有 例5. 设X是连续型随机变量,其概率密度函数为 例6. 如果函数 为某随机变量的概率密度,则A=? 分布函数 例1.设连续型随机变量X的概率密度函数为 当 时, 连续型随机变量分布函数与离散型随机变量分布函数具有相同性质. 特别地,这里的“”和“≤”可以换为“≤”或“”. 连续型随机变量分布函数的求法 分两种情况考虑 例2. 设连续型随机变量X的分布函数为 故 从而 而在F(x)的分段点x=0处, 所以 解: (1) 例4 设随机变量X的分布密度为 所以 二.常见分布 它落在区间 中任意长 度为L的子区间内的概率都 相同,或者说它落在子区间 内的概率只依赖子区间的 长度与子区间的位置无关.事实上,对于任 一长为L的子区间 由 为最近整分度时所发生的随机误差等等,都可以认为是服从均匀分布. 例2 设随机变量X在 上服从均匀分布,现对X进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于1的概率为( ). 例3 设随机变量X服从 上的均匀分布,则关于 的方程 有实根的概率为( ). 2.指数分布 它们图形是: 例4 某一设备有4个同类型的三极管,它们的寿命X的密度函数为 求(1)参数λ的值; (2)一个三极管寿命超过1250小时的概率; (3)该设备在使用1250小时后,需要更换三极管的概率. 解 (1)由密度函数 的基本性质知 (3) 设Y表示4个三极管中损坏的个数,则显然 例5 设随机变量X的概率密度函数为 (2)由于 3.正态分布(一) 概率论与数理统计中最常用最重要的概率分布就是正态分布,这是因为: 其中 及 是分布的参数,正态分布也称为高斯(Gauss)分布.(如图) 于 对称, (5) 正态分布的参数 决定其密度函数f(x)图形的形状,因此有时也称为正态分布的形状参数,如图. 正态分布 的分布函数是 与 的示意图(课本107页图3.3) 为了计算正态的随机变量X落在(a,b)内的概率,我们有必要揭示一般正态分布与标准正态分布之间的关系. 证:(1) 设 则 概括起来有 (3). 例1 设 求 例2 设 试求 所以 C=3. 例3 某科统考成绩近似服从正态分布 在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),计算 (1)不及格人数; (2)估计第10名的成绩. 所以 定义3.2 设随机变量X的概率密度为 则称随机变量X在区间 上服从均匀分布,记作 ,其中a,b是分布参数. 在区间 上服从均匀分布的随机变量X具有下述意义上的等可能性. 均匀分布常见下列情形:例如,在数值计算中:由于“四舍五入” 最后一位数字引起的随机误差;在刻度器上读数 时,把零头数化 例1 用电子表计时一般准确至百分之一秒,即若以秒为时间的计量单位,则小数点后第二位数字是按“四舍五入”原则得到的,求由此产生的计时误差的概率,密度. 解:按题意,计时误差X可能取得区间 上的任一数值,并在区间 上服从均匀分布,所以,X的概率密度为 解:X的概率密度为 则一次试验观察值大于1的概率为 设三次,独立试验中观察值大于1的次数为Y,则 解:由方程 有实根, 故有实根的概率 定义3.3 设随机变量X的概率密度为 则称随机变量X服从指数分布,记作 其中λ0是分布的参数. 指数分布常见于下列情