基于核心置顶探究一道椭圆伴随圆问题的变式探究历程.pdfVIP

2014 年第12期 福建中学数学 21 基于核心 置顶探究 ——一道椭圆伴随圆问题的变式探究历程 周 翔 福建省厦门第一中学（361004） 学习数学离不开解题，解题历来就被公认为是 考虑到本题中 a2 +b2 2 ，可作一般化推广． 数学学习中最富有特征的一项活动，而解题后的研 x 2 y 2 究和反思工作，则显得更加重要．R·柯朗在《数学 结论 1 若点 P 是椭圆 C : a2 +b2 1(a =b 0) 是什么？》的序言中有这样一段话：“学生和教师若 的伴随圆x 2 +y 2 a 2 =+b 2 上一动点，过点 P 作直线 l ， 1 不试图从数学的形式和单纯的演算中跳出来，以掌 l ，使得l ，l 与椭圆 C 都只有一个公共点，当 l ，l 2 1 2 1 2 握数学的本质或关键特征，那么挫折和迷惑将变得 斜率都存在（记为 k1 ，k2 ）时，有l1 ⊥l2 ( 即k1 ⋅k2 更为严重．”特别是在解析几何复习教学中，应基于 −1) ． 问题的核心关键式，将题目内在的探究价值放大到 证明 设点 P (x ，y ) ，其中x 2 +y 2 a 2 =+b 2 ， 0 0 0 0 极致，最终达到所冀望的思维深度训练的效果． 再设经过点 P (x ，y ) ， 0 0 一般说来，探究活动可从以下三个层面进行： 与椭圆只有一个公共点的直线为 ①挖掘题目的类比价值，即改换问题中相应的 y k (x −x 0 ) +y 0 ， 几何要素(点、直线、曲线) ，形成新的背景，培养学 y kx =+(y −kx ) ， ⎧ 0 0 生发散思维； 由⎨⎪x 2 y 2 ②挖掘题目的拓展价