关于计算极限的几种方法.docVIP

目录 内容摘要 摘要：极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础，研究函数性质的重要手段.极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，本文通过典型例题，举一反三，给出几种常用的求极限方法。极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法. 关键词:极限；计算；方法 Abstract: the limit is one of the most basic, the most important concept in mathematical analysis, the limit is an important foundation for the calculus, an important means to study the function of the nature of the concept description. The limit is an important trend in the infinite process function, through typical examples, infer other things from one fact,several commonly used methods for the limits. A lot of calculation method of limit, and there are rules and skills, certain of this, this paper will be based on case analysis, discussion, and sums up some calculation method. Key words: limit; Calculation; methods 引言： 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 利用导数定义求极限 据文定理1导数的定义：函数在附近有定义，对于任意的，则 如果存在，则此极限值就称函数在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。首先要选好，然后把所求极限。表示成在定点的导数。 例1：求 解：原式，令， 当时，，故原式 一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许多从表面看起来，不能直接用导数定义但经过恒等变形后，都可以利用导数定义来求，如上述例题。 二．利用中值定理求极限 2.1利用微分中值定理求极限 计算数列和函数的极限时，经常遇到的多是，，···的不定形式，其中有时也以差的形式出现，这就给应用微分中值定理提供了机会，微分中值定理把差化成积之后，就可在积的极限中，用等价无穷小进行代换，从而起到化繁为简的作用，另一方面，微分中值定理把函数差变成其间的导数值这种转化往往能变难为易。 例2：求 解：因为和可以看成指数函数在和两点处的函数值，又因故由微分中值定理知，其中 ，于是 故得 例3：求 解：由微分中值定理知，其中，而，故 从以上两例可以看出，当不定式中的以同一函数在不同的两点之差的形式出现时，利用微分中值定理求极限，有统一简便且易于掌握的优点。 2.2利用积分中值定理求极限 据文定理9.7积分中值定理：如果函数在闭区间上连续，那么一定存在，使 如果某些数列含有带参数的定积分，并且定积分不易计算，那么在求这类数列的极限时应当首先考虑利用积分中值定理脱去积分符号，然后再作进一步的处理。 例4:求 （） 解：利用积分中值定理，得 （） 因为无穷小与有界量的乘积还是无穷小，所以 故所求极限 例5：求 解：作变量代换:则于是 （利用定积分的对称性，第一项积分为零） = （）（利用积分中值定理） = 所以原式= 利用定积分定义求极限 据文定理2：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点