数值分析A第五次作业(李庆杨版)第二章.pdfVIP

数值分析A 第五次作 第二章 教材：数值计算原理 P130~133 1 ∗( ) ∗( ) ( ) 9. 令T x = T (2x −1) ，x ∈[0, 1] ，试证{T x }是在[0,1]上带权ρ x = 的正交多项式， n n n √x −x 2 并求T∗(x) ，T∗(x) ，T∗(x) ，T∗(x). 0 1 2 3 ( ) ∗( ) 见教材P48，(1.22)：T x = cos⁡(narcosx) ，所以T x = cos⁡(narcos(2x −1)) n n 1 1 �T∗( ) ∗ ( ) x , T x �= � ∙cos⁡(narcos(2x −1)) ∙cos⁡(marcos(2x −1))dx n m 0 √x −x 2 令t=2x-1，有： 1 1 右式= ∫ 2 ∙cos⁡(narcos(2((t + 1)/2) −1)) ∙cos⁡(marcos(2((t + 1)/2) − −1 �((t +1)/2)−((t +1)/2) 1 1 1 2 1))d((t + 1)/2) = ∫ 2 ∙cos⁡(narcos(t) ∙cos⁡(marcos(t))d(t/2) = ∫ 2 ∙ −1 �1/4−(t/2) −1 √1−t 1 1 1 cos⁡(narcos(t) ∙cos⁡(marcos(t)) ∙ dt = ∫ 2 ∙cos⁡(narcos(t) ∙cos⁡(marcos(t))dt = 2 −1 √1−t 0, m ≠n π ( ) ( ) , m = n ≠0 （教材P48, 1.23） �T t , T t �= � n m 2 π, m = n = 0 1 ∗( ) ( ) 因此，{T x }是在[0,1]上带权ρ x = 的正交多项式 n √x −