传递过程原理讲课提纲03粘性流体运动的微分方程及其应用1.docVIP

第三章 粘性流体运动的微分方程及其应用 主要包括三个方程: 即：微分质量衡算方程---连续性方程； 微分动量衡算方程---奈维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程； 微分能量衡算方程---特定条件下的傅立叶第二导热定律。 §1 连续性方程 §1—1 连续性方程的推导 取如图10微元体，作质量衡算，有： (输入微元体的流体质量流量) = (输出微元体的流体质量流量) + (微元体中累积的流体质量流量) 分三个方向讨论: ρ=ρ(x, y, z,θ) u = u (x, y, z,θ) 在x方向输入的流体质量： abcd面为： ρux·dydz a1b1c1d1 面为： [ρux+dx]dy dz x 方向净输出为：[dx]dy dz 同理， y 方向净输出为：[dy]dx dz z方向净输出为：[dz]dy dx ②微元体中累积的流体质量流量为： 于是 ： (1) 或（表示法①） ▽－微分算符(哈密特算符),亦称散度 §1－2 连续性方程的分析与简化 由于流体流动时： ρ=ρ(x, y, z,θ) 故 dρ= 即 dρ/dθ= = (2) 式中dρ/dθ称为随体导数,记作 定义: (3) 随体导数＝局部导数＋对流导数 故上述连续性方程亦可写作（表示法②）： 即 = -ρ▽ (4) 讨论 : ①对稳态流动( 运动参数不随时间但可随位置而变化 ), 故： ② 对不可压缩流体，不论流动是否稳定，因为ρ = 常数 故 常用此方程来判别流体的可压缩性 ③ 由于ρ·υ = 1 故: 或 式中:反映了微元流体流动时的体积随时间的变化率, 形变速率 反映了微元流体流动时的密度随时间的变化率 比较式(4)可知（表示法③）： 增例: 某流体运动时其运动速度服从如下空间分布，试判别其压缩性。 1. 2. 3. 解: (1) ，； ，；，。 故流体不可压缩 (2) ，；，；，。 不可压缩 (3) ，；，； ，。 故该流体只在=0位置时为不可压缩,其余位置时为可压缩 §1－3 连续性方程在柱坐标和球坐标系中的表达式 连续性方程在柱坐标的表达式 a 直角坐标系与柱坐标系的关系 x= rcosα r：+∞～-∞ y= rsinα α： 0～2π z=z z：+∞～-∞ α为方位角 b 于是 变为： 连续性方程在球坐标的表达式 a 直角坐标系与球坐标系的关系 x= (rsinα)·cosφ y= (rsinα)·sinφ 0≤α及φ≤2π z= rcosα -∞≤r≤+∞ φ--方位角 α--余纬度 b 表达式 附: 推导方法:① 取空间微元体(微柱\微球)；φ ② 对微元体作质量流量衡量计算； ③ 质量衡算，整理即得。 §2 流体运动的基本方程 §2－1 流体流动时牛顿第二定律 采用拉格朗日观点(即跟踪质点考察方法)，则 例如在x方向的惯性力(同理可写出y、z方向的惯性力方程) 对运动流体受力分析表明，存在二大类力作用于流体： 1、质量力(即作用力大小与流体本身有关的力，亦称为体积力) 通常有二种：重力mg，离心力mω2r 其大小为 dFXB= Xρdxdydz 式中X－单位质量流体在x方向所受质量力，N/kg 2、表面力FS 主要是静压力和惯性力两类，通称为机械力。 单位流体表面所受的机械力又称为机械应力或表面应力。 以作用于流体微元面积上的表面力作分析，可见有三个表面力: ① 作用于微元面上的法向应力(拉伸或挤压)τxx； ② 来自于y方向的剪切应力τxy； ③ 来自于z方向的剪切应力τxz。 上式τxy中 x－表示τ所作用的面(与x轴垂直) y－表示τ的作用方向(与y轴平行) 可以想象对一个微元体表面力有9个： 即 3个法向应力： τxx ，τyy ，τzz 6个剪应力： τxy，τxz 垂直x 轴的作用面 τyx，τyz 垂直y 轴的作用面 τzx，τzy 垂直z 轴的作用面 可以证明，上述6个剪应力将使微元