典型的混沌系统 .doc

典型的混沌系统 1 1.1 一维混沌系统 1 §1.1.1 Logistic映射 1 §1.1.2 Chebyshev映射 2 §1.1.3 Logistic映射与Chebyshev映射 2 §1.1.4 概率密度函数PDF的作用 3 1.2二维混沌系统(超混沌系统) 3 §1.2.1 Henon映射 4 典型的混沌系统 混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。 按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型： 时间混沌； 空间混沌； 时空混沌； 功能混沌； 1.1 一维混沌系统 一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下： 其中，xk (V ， k=0,1,2,3…，我们称之为状态。 而(: V(V 是一个映射，将当前状态xk映射到下一个状态xk+1。如果我们从一个初始值x0 开始，反复应用 ( ， 就得到一个序列{ xk ; k=0,1,2,3…..}。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。 原始的虫口模型方程是（37文）： 体现了两代虫子的数量关系。 将此方程推导一下，可以得到如下方程： 可以得到第n代虫子和第0代虫子的数量关系。 但是，从中不能表现自然的虫子变换关系，因为虫子的增长变化不是恒定的（考虑到很多负面影响，如虫子太多时，由于食物有限和生存空间有限，还由于疾病等多种原因，使得虫口数量减少），所以这个线性模型完全不能反映虫口的变化规律。 §1.1.1 Logistic映射 一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic映射，它起源于虫口模型。其定义有多种形式。 1．形式一 其中，混沌域为(0,1)，0 ( ( ( 4 称为分枝参数，xk ∈(0,1)。混沌动力系统的研究工作指出，当3.5699456… ( ( 4 时，logistic映射工作于混沌态。也就是说，由初始条件x0 在logistic映射的作用下所产生的序列 { xk ; k=0,1,2,3…..}是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感的。 在(=4的情况下，即Logistic-Map映射，其所生成序列的概率密度函数PDF(probability density function)： 表明此系统产生的混沌序列具有遍历性，并且它产生序列的PDF与初始值无关，这为将混沌序列作为密钥置换网络的映射函数提供了理论支持。 2．形式二 其中 ( ( [0, 2]，混沌域为[-1, 1]。当(∈(1.40115,2)时，Logistic映射工作处于混沌状态。（34文）；当(∈(1.5437,2)时，Logistic映射工作处于混沌状态。（35文）（具体看《从抛物线谈起》） 在(=2的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF： 3．形式三 当(∈(3.5699,4)时，Logistic映射工作处于混沌状态。在(接近4的范围内生长的混沌序列的随机性比较好。（37文） 在(=4的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF：（43文） §1.1.2 Chebyshev映射 Chebyshev 映射，以阶数为参数。k 阶Chebyshev 映射定义如下： 其中 xk 的定义区间是(-1，1)。 §1.1.3 Logistic映射与Chebyshev映射 上述第二类Logistic映射在(=2的满射条件下，与Chebyshev映射是拓扑共轭的，它们生成序列的概率分布函数PDF也是相同的： §1.1.4 概率密度函数PDF的作用 通过((x)，我们可以很容易地计算得到logistic映射所产生的混沌序列的一些很有意义的统计特性。例如，x的时间平均即混沌序列轨迹点的均值是： 例如，关于相关函数，独立选取两个初始值x0 和y0 ，则序列的互相关函数为： 例如，序列的自相关函数ACF(auto-correlation functions)则等于delta函数((l)。这正是我们所需要的。 注意，联合概率密度函数pdf :((x,y)= ((x) ( ((y)。 Logistic序列的以上特性表明，尽管混沌动力系统具有确定性，其遍历统计特性等同于白噪声，其具有形式简单，初始条件的敏感性和具备白噪声的统计特性等诸多特性。 1.2二维混沌系统(超混沌系统) 一维离散混沌系统，具有形式简单、产生混沌序列时间短等优点，但其缺点是密钥空间太小。用二维超混沌系统生成的混沌序列，变换成加密因子序列。 Lyapunov指数（简称李氏指数），是刻画非线性系统混沌特性的有效方法之一，李氏指数的个数与系统状态空间的维数n相同。如果只有一个李氏指数大于零，则系统是混沌的；若至少有两个李氏指数大于零，则系统是超混沌的。大于零的李氏指数越多，系统不稳定的程度越高。一般来说，系统的