关于有出手高度的斜抛运动的最大射程分析.docVIP

关于斜抛运动的最大射程 宁强县第一中学 贾银锁（724400） 关于抛出点和落地点在同一水平面上的斜抛运动的最大射程问题，已经被众多的读者所熟知，也就是：当抛出角为45°时，水平射程最大，为 。但对抛出点和落地点不在同一水平面上的斜抛运动来说，抛出角满足什么条件时，水平射程最远？最远为多少？下面就以上两个问题与读者一起进行探讨。 如下图所示，设斜抛物体的初速度为，抛出点与落地点的水平高度差为H，令当斜抛运动的初速度与水平方向间的夹角为α时，水平射程X最大。 对初速度进行分解，然后由运动学规律不难可以得到以下两个式子： α 消去①②中的α，得到 整理③式得到 从④式不难可以看出，当t= 时 X最大，有 即 ⑤ 又因为物体在空中下落的过程中，遵守机械能守恒定律，故有 所以有 ⑥ 从①②式中可以得出 将 及 带入上式得 ⑦ 由以上推导，可以得出从距水平地面高为H的小球以初速度V斜抛时： 当初速度方向与水平方向间的夹角满足 α=arctg时，小球的水平射程为最大，且最大射程为Xm= （其中V为物体落地时的速度，大小为 ） 另外，以上结论也可以由动量定理加以证明： 当V和H一定时，由机械能守恒定律得，物体落地时的速度必为定值 因为小球在空中运动时只受重力的作用，由动量守恒定律得：小球从抛出到落地这段时间内，速度由初速度变化到，速度的变化量△V的方向一定在竖直向下的方向上，且满足上图的矢量关系（图中的为物体落地时的速度方向与水平方向间的夹角） 设物体在空中的运动时间为t，水平射程为X，则由运动学知识及动量定理可得出下述两式： 将②式中的t带入①中得到 又因为 而 所以有 由③④⑤三式得 因为、及g均为定值，所以，当（α+β）=90°时，X有最大值，且为，而这一结论与上面的推导结论是完全一致的。 在此，可以得到从高出水平地面H处以初速度V0斜抛出的物体，当满足V的方向与水平面间的夹角α=arctg 时，水平射程最大为 ，并且正好初速度的方向与落地时的末初速度的方向垂直（）。 此外，读者自己不难可以证明以下3个结论： ①当抛出点和落地点在同一水平面上时，只是上面结论的一个特殊情况,上结论同样适用; ②当物体从水平地面向高处地面H处的地方以V斜上抛时，同样可以应用上述结论，不过此时V= ③当抛出点高于水平地面时，要想使物体的水平射程最大，初速度方向与水平方向间的夹角 应小于45°；当抛出点低于落地点的时候，要想使物体的水平射程最大，应满足 ＞45°；当抛出点与落地点在同一水平面时，为使物体的水平射程最大，必须要满足初速度的方向与水平方向间的夹角 =45°。 [注：以上讨论均不考虑空气阻力] {说明：此论文已刊登于《中学物理》2003年第四期}