矢量分析旋度散度梯度.ppt

1-18 ， y的积分限为 ）。并验证斯托克 设 ， 试计算下述面积分： S为x-y平面第一象限内半径为3的四分之一圆（即x的积分限为 斯定理。 解： 3 0 3 x y z 所以 又， 所以， 斯托克斯定理成立。 1-21 在静电场中，电场强度 。试求点（2，2，0）处的 ，设（a） ；（b） 解： （a） 所以； （b） 所以， 1-23 求 在点（2，3，1）处的梯度及沿方向 的方向导数。 解： 所以， 习题及答案 1.1 给定三个矢量、和如下： A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez 求：(1) | A |，| B |，| C |；(2) ea，eb，ec；(3)A·B；(4)A?B;(5)(A?B)?C，(A?C)?B;(6) (A?B) ·C，(A?B) ·C; 解 (1) A|＝ B|＝ |C|＝ (3) A·B = =-1 (2) (4) (6) -(A?C) ·B=(A?B) ·C= (7ex-11ey-5ez) (2ex-1ez)=19 (5) (A?B)?C= ( A?C)?B =( A?B)C-( B?C)A=-(2ex-1ez)-4(1ex+2ey-3ez) =-6 ex-8ey+13ez 解 （1）三个顶点的位置矢量分别为 三角形三边的对应矢量为 其中 可见，该三角形为一直角三角形 三角形的面积为： 1-3 角形的三个顶点为 和 。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 (1-4)给定矢量函数A=exy+eyx，试计算 (1) 沿抛物线x＝2y2；（2）沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值 解： (2)连接点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的直线方程为 即 (1) 14 1.8 若标量函数为 ，试求在P(1,-2,1)点处的梯度。 解： 在P(1,-2,1)点处 1-14 试证明： 证明： 1.18 已知矢量场F的散度? ? F ?q?(r)，旋度??F=0，试求该矢量场。 解： 由??F=0，可将F表示为F=??，代入??F ?q?(r)中，得到 ?? ? ?＝q?(r)，即 ?2?＝q?(r) F=?? 二阶偏微分方程的解为： 1.17 (??E)?E=(E??)E-??E?/2 证明： (??E)?E=(E??)E-??E?/2 由 得到： * 首先把A移到后面，得到B（C? A ），再把B移到后面，得到C （ A ?B ） * 通量描述的是一定范围内的源与净通量之间的关系，而不能反映场域内的源分布情况。为了研究矢量场中每一点处的场与源之间关系，需要引入矢量场的散度的概念。 * 无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。 直角坐标－球坐标 在柱坐标中三个长度元分别为dρ , ρ dφ和dz, 因而其算子相应地换为 球坐标长度元为dr , rdθ和r sinθdφ, 故其▽算子为 ?算子 柱坐标中矢量A的散度和旋度 为了对矢量函数求导, 一个常用的公式是 球坐标中矢量A的散度和旋度 在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中, 距离rl处的电位为 求其电场强度E(r, θ, φ)。 解 ： 例 1 .7 亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即 §1 .6 亥姆霍兹定理 二. 矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类： 1) 调和场 若矢量场F在某区域V内，处处有：??F=0和??F=0 则在该区域V内，场F为调和场。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。 调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场 如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即 函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。 无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即 这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q有关。 标量位u的积分表达式： 2)